Soal 11
Suku banyak \( f(x) \) dibagi \( (x+1) \) sisanya \( -2 \) dan dibagi \( (x-3) \) sisanya \( 7 \). Suku banyak \( g(x) \) dibagi \( (x+1) \) sisanya \( 3 \) dan dibagi \( (x-3) \) sisanya \( 2 \). Diketahui \( h(x)=f(x)\cdot g(x) \). Jika \( h(x) \) dibagi \( (x^2-2x-3) \), sisanya adalah ....
A. \( S(x)=3x-1 \)
B. \( S(x)=4x-1 \)
C. \( S(x)=5x-1 \)
D. \( S(x)=6x-1 \)
E. \( S(x)=7x+2 \)
Jawaban dan Analisis
\( x^2-2x-3=(x-3)(x+1) \). Sisa pembagian berbentuk \( S(x)=ax+b \) dengan derajat \( \lt 2 \).
\( f(-1)=-2 \), \( g(-1)=3 \) sehingga \( h(-1)=-6 \). Maka \( -a+b=-6 \).
\( f(3)=7 \), \( g(3)=2 \) sehingga \( h(3)=14 \) dan \( 14 \gt 0 \). Maka \( 3a+b=14 \).
Dikurangi diperoleh \( 4a=20 \Rightarrow a=5 \). Substitusi memberi \( b=-1 \).
Jadi \( S(x)=5x-1 \). Jawaban: C.
Soal 12
Suku banyak \( (2x^3+7x^2+ax-3) \) mempunyai faktor \( (2x-1) \). Faktor-faktor linear yang lain adalah ....
A. \( (x-3) \) dan \( (x+1) \)
B. \( (x+3) \) dan \( (x+1) \)
C. \( (x+3) \) dan \( (x-1) \)
D. \( (x-3) \) dan \( (x-1) \)
E. \( (x+2) \) dan \( (x-6) \)
Jawaban dan Analisis
Karena \( (2x-1) \) faktor, maka \( x=\frac{1}{2} \) akar. Substitusi menghasilkan \( a=2 \).
Polinom menjadi \( 2x^3+7x^2+2x-3 \). Hasil bagi dengan \( (2x-1) \) adalah \( x^2+4x+3 \).
Faktorkan \( x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \) karena \( 1\cdot3=3 \) dan \( 1+3=4 \gt 0 \).
Jadi jawabannya \( (x+3) \) dan \( (x+1) \). Jawaban: B.
Soal 13
Nilai \( \cos \angle BAD \) pada gambar adalah ....
A. \( -\frac{1}{2} \)
B. \( -\frac{1}{3} \)
C. \( \frac{1}{5} \)
D. \( \frac{2}{3} \)
E. \( \frac{20}{21} \)
Jawaban dan Analisis
Karena \( AB=1 \) dan \( BC=2 \), maka \( AC=3 \). Sudut \( \angle BAD=\angle CAD \).
Pada segitiga \( ACD \), diketahui \( AC=3 \), \( AD=4 \), \( CD=3 \).
Gunakan aturan cosinus: \( \cos \angle CAD=\frac{3^2+4^2-3^2}{2\cdot3\cdot4} =\frac{16}{24}=\frac{2}{3} \).
Jadi \( \cos \angle BAD=\frac{2}{3} \). Jawaban: D.
Soal 14
Diketahui \( \triangle PQR \) dengan \( PQ=3 \) cm, \( PR=5 \) cm dan \( \angle QPR=60^\circ \). Jika \( PS \) garis bagi \( \angle QPR \), panjang \( PS \) = ....
A. \( \frac{20}{9}\sqrt{3} \) cm
B. \( \frac{20}{9\sqrt{3}} \) cm
C. \( \frac{45}{4}\sqrt{3} \) cm
D. \( \frac{20}{3}\sqrt{3} \) cm
E. \( \frac{20}{6}\sqrt{3} \) cm
Jawaban dan Analisis
Rumus panjang garis bagi: \( PS=\frac{2\cdot PQ\cdot PR\cdot \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right)}{PQ+PR} \).
\( \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( PS=\frac{2\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{8} =\frac{15\sqrt{3}}{8} \gt 0 \).
Jadi \( PS=\frac{15}{8}\sqrt{3} \) cm.
Soal 15
Diketahui \( \sin \alpha-\cos \alpha=\frac{7}{5} \), \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \). Nilai \( \sin \alpha+\cos \alpha \) = ....
A. \( \frac{1}{25} \)
B. \( \frac{1}{5} \)
C. \( \frac{25}{49} \)
D. \( \frac{5}{7} \)
E. \( \frac{49}{25} \)
Jawaban dan Analisis
Misalkan \( d=\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5} \).
\( d^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha \) dan \( s^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha \).
\( s^2+d^2=2 \Rightarrow s^2=2-\frac{49}{25} =\frac{1}{25} \).
Maka \( s=\pm\frac{1}{5} \). Karena \( \frac{7}{5} \gt 0 \), dipilih nilai positif.
Jadi \( \sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5} \). Jawaban: B.