Bedah Soal PM SNBT: Analisis Data Grafik dan Diagram

Soal 1.

Sebuah kapal pesiar bertolak dari pelabuhan \( A \) menuju pelabuhan \( B \) yang berjarak \( 20 \) km dengan arah tertentu. Setelah sampai di \( B \), kapal tersebut berbelok \( 60^\circ \) dari arah semula dan menempuh jarak \( 15 \) km menuju pelabuhan \( C \).

Berapakah jarak langsung dari pelabuhan awal \( A \) ke pelabuhan terakhir \( C \)?

Soal 2.

Seorang arsitek ingin mengukur tinggi sebuah menara tanpa memanjatnya. Dari titik \( D \), ia melihat puncak menara dengan sudut elevasi \( 30^\circ \). Ia kemudian berjalan mendekati menara sejauh \( 100 \) meter ke titik \( E \), dan sudut elevasinya berubah menjadi \( 60^\circ \).

Berapakah tinggi menara tersebut?

Soal 3.

Seorang tukang kayu ingin memasang tiang penyangga tegak lurus di tengah-tengah rangka atap berbentuk segitiga sama kaki. Lebar rumah (alas segitiga) adalah \( 12 \) meter dan panjang kemiringan atap (sisi miring segitiga) adalah \( 10 \) meter.

Berapakah panjang tiang penyangga yang harus dipotong?

Soal 4.

Sebuah kamera CCTV dipasang di sudut langit-langit sebuah lorong yang lebarnya \( 4 \) meter. Kamera tersebut memiliki sudut jangkauan pandang sebesar \( 60^\circ \). Kamera diarahkan tepat ke lantai secara simetris.

Berapakah panjang area lantai yang dapat tertutup oleh jangkauan kamera tersebut?

Soal 5.

Sebuah jembatan gantung memiliki kabel penyangga utama yang membentuk garis lurus dari puncak menara setinggi \( 30 \) meter menuju permukaan jalan yang berjarak \( 50 \) meter dari kaki menara.

Jika dipasang tiang penyangga vertikal tambahan pada jarak \( 20 \) meter dari kaki menara, berapakah tinggi tiang penyangga tersebut?

Soal 6.

Sebuah rangka atap rumah berbentuk segitiga sama kaki \( ABC \). Lebar rumah (alas \( AB \)) adalah \( 10 \) meter. Sudut kemiringan atap pada kedua sisi adalah \( 30^\circ \).

Titik \( M \) adalah titik tengah alas \( AB \). Dipasang tiang penyangga utama \( MC \) secara vertikal menuju puncak atap.

Untuk memperkuat rangka, dipasang dua tiang vertikal kecil, salah satunya \( DE \), yang berjarak \( 2 \) meter dari sudut \( A \).

Pertanyaan:

A. Berapakah tinggi tiang utama \( MC \)? (Gunakan \( \tan 30^\circ \approx 0{,}58 \))

B. Berapakah tinggi tiang kecil \( DE \)?

C. Buktikan bahwa segitiga \( AMC \) dan \( BMC \) kongruen.

Soal 7.

Sebuah tim Pramuka ingin mengukur lebar sungai tanpa menyeberanginya. Di seberang sungai terdapat pohon \( P \) yang tepat di tepi air.

Seorang pramuka berdiri di titik \( A \) tepat berhadapan dengan pohon \( P \), sehingga garis \( AP \) tegak lurus tepi sungai.

Ia berjalan menyusuri tepi sungai sejauh \( 10 \) meter dan berhenti di titik \( B \). Kemudian ia berjalan lagi searah garis \( AB \) sejauh \( 5 \) meter hingga tiba di titik \( C \) (sehingga \( AC = 15 \) meter).

Dari titik \( C \), ia berjalan menjauhi sungai (tegak lurus garis \( AC \)) hingga titik \( D \) sedemikian sehingga titik \( B \), \( D \), dan \( P \) segaris.

Jarak \( CD \) diukur dan diperoleh \( 4 \) meter.

Pertanyaan:

A. Buktikan bahwa segitiga \( \triangle ABP \) dan \( \triangle CBD \) sebangun.

B. Berapakah lebar sungai tersebut (jarak \( AP \))?

C. Jika sudut \( \angle CDB = 51^\circ \), berapakah sudut \( \angle APB \)?

Soal 8.

Dua stasiun radar \( A \) dan \( B \) berjarak \( 500 \) km. Sebuah satelit berada di antara kedua stasiun tersebut.

Stasiun \( A \) mendeteksi satelit dengan sudut elevasi \( 45^\circ \), sedangkan stasiun \( B \) mendeteksi satelit yang sama dengan sudut elevasi \( 75^\circ \).

\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ\)

\(\sin 75^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac12\right) =\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)

\(\cos 75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ\)

\(\cos 75^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac12\right) =\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)

Berapakah jarak satelit tersebut dari stasiun \( A \)?

Soal 9.

Sebuah kapal tim SAR berada di Posisi \( A \). Mereka menerima sinyal darurat dari kapal nelayan di Posisi \( C \).

Berdasarkan radar, kapal \( C \) berada pada arah \( 030^\circ \) (30 derajat dari utara ke arah timur) dari Posisi \( A \).

Karena adanya karang, kapal SAR harus terlebih dahulu menuju Titik Pantau \( B \) yang berjarak \( 12 \) km tepat di sebelah timur dari Posisi \( A \).

Setelah sampai di Titik \( B \), radar menunjukkan kapal \( C \) berada pada arah \( 330^\circ \) (30 derajat ke arah barat dari utara).

Pertanyaan:

A. Berapakah jarak langsung antara titik \( A \) dan titik \( C \)?

B. Berapakah jarak dari titik \( B \) ke titik \( C \)?

Soal 10.

Seorang surveyor ingin mengukur lebar sebuah sungai yang arusnya sangat deras. Di seberang sungai terdapat pohon pada titik \( P \) yang tepat berada di tepi air.

Surveyor berdiri di titik \( A \) tepat berhadapan dengan pohon tersebut sehingga garis \( AP \) tegak lurus terhadap tepi sungai.

Ia berjalan menyusuri tepi sungai sejauh \( 80 \) meter ke titik \( B \). Di titik \( B \), ia mengukur sudut antara garis pantai \( BA \) dan garis pandang ke pohon \( BP \), dan diperoleh sudut sebesar \( 35^\circ \).

\(\sin 35^\circ \approx 0.5736\)

\(\cos 35^\circ \approx 0.8192\)

Untuk memastikan hasilnya, ia berjalan lagi sejauh \( 40 \) meter ke titik \( C \) sehingga jarak \( AC = 120 \) meter.

Tentukan lebar sungai tersebut (jarak \( AP \)).

Soal 11.

Seorang petugas pemetaan ingin mengukur lebar sungai besar. Di seberang sungai terdapat Tiang Listrik pada titik \( T \) yang tepat berada di tepi air.

Petugas berdiri di titik \( A \) yang tepat berhadapan dengan tiang tersebut sehingga garis \( AT \) tegak lurus terhadap tepi sungai.

Ia berjalan menyusuri tepi sungai sejauh \( 30 \) meter ke titik \( B \), lalu berjalan lagi sejauh \( 10 \) meter ke titik \( C \) sehingga \( AC = 40 \) meter.

Dari titik \( C \), ia berjalan menjauhi sungai secara tegak lurus sejauh \( 15 \) meter hingga titik \( D \), sehingga titik \( B \), \( D \), dan \( T \) berada dalam satu garis lurus.

Pertanyaan:

A. Dengan membandingkan segitiga \( \triangle ABT \) dan \( \triangle CBD \), tentukan lebar sungai (jarak \( AT \)).

B. Jika ingin mengecek dengan sudut, berapakah besar sudut \( \angle ATB \)? (Gunakan \( \tan 63{,}4^\circ \approx 2 \)).

C. Jika titik \( C \) digeser lebih jauh lagi sepanjang tepi sungai, apakah rasio kesebangunannya berubah?

Soal 12.

Seorang siswa bernama Budi ingin mengetahui tinggi sebuah pohon Randu tanpa memanjatnya. Ia menggunakan metode bayangan matahari.

Tinggi badan Budi adalah \( 1{,}6 \) meter. Pada pukul 09.00 pagi, panjang bayangan Budi di tanah adalah \( 2 \) meter.

Pada saat yang sama, panjang bayangan pohon Randu tersebut adalah \( 15 \) meter.

Pertanyaan:

A. Berapakah tinggi pohon Randu tersebut?

B. Jika \( \theta \) adalah sudut elevasi matahari terhadap tanah, berapakah nilai \( \tan(\theta) \)?

C. Jika pengukuran dilakukan pukul 12.00 siang saat matahari tepat di atas kepala, apakah metode ini masih dapat digunakan?

Soal 13.

Sebuah gedung perkantoran memiliki lift kaca di bagian luar gedung. Di depan gedung terdapat sebuah tiang lampu jalan dengan tinggi \( 6 \) meter.

Pada malam hari, lampu di puncak tiang menyala. Cahaya lampu tersebut membentuk garis lurus dari puncak tiang, melewati puncak pagar pembatas setinggi \( 2 \) meter yang berjarak \( 4 \) meter dari tiang, kemudian mengenai dinding gedung.

Jarak pagar ke dinding gedung adalah \( 10 \) meter.

Pertanyaan:

A. Pada ketinggian berapakah cahaya tersebut mengenai dinding gedung?

B. Jika dianggap sebagai dua segitiga sebangun, berapakah rasio perbandingannya?

Soal 14.

Di sebuah bandara terdapat gedung parkir dengan tinggi \( 20 \) meter. Di depan gedung tersebut, berjarak \( 15 \) meter dari dinding gedung, terdapat sebuah patung pada titik \( P \) dengan tinggi \( 4 \) meter.

Pada suatu sore hari, posisi matahari menyebabkan puncak gedung tepat membentuk bayangan yang mengenai kaki patung \( P \).

Pada saat yang sama, sebuah lift kaca eksternal sedang bergerak naik di dinding gedung tersebut.

Pertanyaan:

A. Berapakah panjang bayangan gedung tersebut?

Soal 15.

Seorang teknisi berada di dalam gedung yang memiliki lorong lift transparan. Di luar gedung terdapat sebuah tembok penahan setinggi \( 3 \) meter. Jarak dari lorong lift ke tembok penahan tersebut adalah \( 6 \) meter.

Di seberang tembok penahan (lebih jauh lagi), terdapat sebuah lampu taman setinggi \( 1 \) meter. Jarak antara lampu taman dan tembok penahan adalah \( 2 \) meter.

Cahaya dari lampu taman mengenai puncak tembok penahan dan kemudian merambat lurus hingga mengenai lorong lift di dinding gedung.

Pertanyaan:

A. Pada ketinggian berapakah cahaya tersebut mengenai lorong lift?

B. Berapakah rasio kesebangunan antara segitiga kecil dan segitiga besar?

Soal 16.

Seorang detektif ingin melihat sebuah brankas pada titik \( B \) yang tersembunyi di balik tembok lorong. Ia meletakkan sebuah cermin kecil datar pada titik \( C \) di lantai lorong agar dapat melihat pantulan brankas tersebut.

Mata detektif berada pada ketinggian \( 1{,}5 \) meter dari lantai dan berjarak \( 2 \) meter dari posisi cermin.

Jika ditarik garis lurus dari cermin ke posisi brankas, jaraknya adalah \( 6 \) meter.

Sinar cahaya dari brankas mengenai cermin dan memantul tepat ke mata detektif sehingga membentuk dua segitiga siku-siku yang sebangun dan bertemu di titik \( C \).

Pertanyaan:

A. Berapakah tinggi brankas tersebut?

B. Jika sudut antara lantai dan garis pandang detektif ke cermin adalah \( 37^\circ \), berapakah sudut datang sinar dari brankas ke cermin?

C. Jika detektif ingin melihat objek yang lebih tinggi pada posisi yang sama, apakah ia harus mendekat atau menjauh dari cermin?

Soal 17.

Seorang pemain biliar ingin memasukkan Bola Target \( T \) ke dalam lubang pojok, namun jalurnya terhalang. Ia harus memantulkan Bola Putih \( P \) ke bantalan meja terlebih dahulu.

Posisi Bola Putih \( P \) berjarak \( 30 \) cm secara tegak lurus dari bantalan meja.

Posisi Bola Target \( T \) berjarak \( 60 \) cm secara tegak lurus dari bantalan meja yang sama.

Jarak horizontal (sejajar bantalan meja) antara posisi \( P \) dan \( T \) adalah \( 120 \) cm.

Pemain harus menentukan titik pantul \( X \) pada bantalan meja agar Bola Putih memantul dan mengenai Bola Target.

Pertanyaan:

A. Berapakah jarak horizontal dari \( P \) ke titik pantul \( X \) (misalkan jarak tersebut adalah \( d \))?

B. Jika sudut pantul terhadap bantalan meja adalah \( \theta \), buktikan bahwa \( \tan(\theta) \) untuk dua segitiga tersebut sama.

C. Jika jarak target dari bantalan menjadi dua kali lebih jauh, apakah titik pantul mendekati atau menjauhi posisi Bola Putih?

Soal 18.

Sebuah rumah sakit membangun ramp (jalan landai) untuk kursi roda agar pasien dapat naik ke lantai utama yang tingginya \( 1{,}5 \) meter dari tanah.

Sesuai standar keamanan, setiap \( 5 \) meter panjang mendatar hanya boleh menaikkan tinggi sebesar \( 0{,}5 \) meter.

Untuk memperkuat struktur, dipasang tiang penyangga vertikal \( DE \) tepat di tengah panjang mendatar ramp tersebut.

Pertanyaan:

A. Berapakah panjang total alas mendatar \( AB \) yang diperlukan agar ramp mencapai tinggi \( 1{,}5 \) meter?

B. Berapakah tinggi tiang penyangga vertikal \( DE \) di tengah alas mendatar tersebut?

C. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut kemiringan ramp?

Soal 19.

Sebuah Gedung Utama memiliki Menara Antena di puncaknya. Di samping gedung tersebut terdapat Gedung Parkir yang lebih rendah dengan tinggi \( 20 \) meter. Jarak antara Gedung Utama dan Gedung Parkir adalah \( 30 \) meter.

Pada sore hari, posisi matahari menyebabkan bayangan puncak Menara Antena jatuh tepat di tepi atap Gedung Parkir.

Pada saat yang sama, seorang teknisi berada di dalam lift kaca yang bergerak naik di dinding Gedung Utama. Ketika lift berada pada ketinggian \( 12 \) meter dari tanah, teknisi melihat bahwa bayangan ujung kepalanya jatuh tepat di dasar Gedung Parkir.

Pertanyaan:

A. Berapakah sudut elevasi matahari saat itu?

B. Berapakah tinggi total Gedung Utama beserta Menara Antena tersebut?

Soal 20.

Seorang fotografer satwa ingin memotret seekor burung elang yang hinggap di puncak pohon. Kamera yang digunakan memiliki sensor digital dengan tinggi \( 24 \) mm atau \( 0{,}024 \) meter.

Cahaya dari burung masuk melalui lensa dan membentuk bayangan terbalik pada sensor. Ini membentuk dua segitiga yang sebangun dengan titik pusat pada lensa.

Diketahui jarak lensa ke sensor (panjang fokus) adalah \( 200 \) mm atau \( 0{,}2 \) meter. Tinggi asli burung elang adalah \( 0{,}6 \) meter.

Fotografer ingin agar bayangan burung tepat memenuhi tinggi sensor \( 0{,}024 \) meter.

Pertanyaan:

A. Pada jarak berapakah fotografer harus berdiri dari pohon?

B. Jika fotografer mundur \( 5 \) meter dari posisi awal, berapakah tinggi bayangan burung pada sensor sekarang?

Soal 21.

Sebuah pabrik pesawat mendesain sayap model tapered wing (semakin mengecil ke ujung). Jika dilihat dari atas, bentuk sayap dapat dimodelkan sebagai segitiga besar.

Lebar sayap di pangkal (titik \( AC \)) adalah \( 4 \) meter.

Lebar sayap di ujung (titik \( EG \)) adalah \( 1 \) meter.

Panjang sayap dari pangkal ke ujung (jarak \( AE \)) adalah \( 12 \) meter.

Insinyur memasang rangka penguat vertikal \( BD \) tepat di tengah panjang sayap, yaitu pada jarak \( 6 \) meter dari pangkal.

Pertanyaan:

A. Berapakah lebar sayap \( BD \) pada jarak \( 6 \) meter tersebut?

B. Berapakah besar sudut lancip \( \angle CAE \) di pangkal sayap?

C. Mengapa sayap kiri dan kanan harus memenuhi syarat kongruen?

Soal 22.

Sebuah lampu jalan dipasang pada tiang tegak setinggi \( 6 \) meter. Seorang pria dengan tinggi \( 1{,}5 \) meter berjalan menjauhi tiang tersebut.

Sinar lampu mengenai puncak kepala pria dan membentuk bayangan di tanah. Garis dari lampu ke ujung bayangan membentuk segitiga siku-siku besar.

Pada suatu saat, pria tersebut berada pada jarak \( 9 \) meter dari kaki tiang lampu.

Pertanyaan:

A. Berapakah panjang bayangan pria tersebut?

B. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut elevasi dari ujung bayangan ke lampu?

C. Jika pria tersebut berjalan menjauh lagi sejauh \( 3 \) meter, apakah panjang bayangan bertambah secara linear? Buktikan secara singkat.

Soal 23.

Sebuah perusahaan teknologi memasang panel surya di atap gedung. Panel dimiringkan dengan sudut elevasi \( 30^\circ \) terhadap permukaan atap yang datar.

Panjang panel (sisi miring segitiga) adalah \( 2 \) meter.

Rangka penyangga membentuk segitiga siku-siku \( ABC \), dengan:

\( AC = 2 \) meter (sisi miring)

\( BC \) adalah tiang penyangga vertikal

\( AB \) adalah alas mendatar

Sebuah tiang penguat tambahan \( DE \) dipasang tepat di tengah alas \( AB \).

Pertanyaan:

A. Berapakah tinggi tiang utama \( BC \)?

B. Jika panjang alas \( AB = 1{,}73 \) meter, berapakah tinggi tiang penguat \( DE \)?

C. Buktikan apakah nilai \( AB = 1{,}73 \) meter tersebut sesuai dengan Teorema Pythagoras.

Soal 24.

Sebuah truk pemadam kebakaran ingin menjangkau jendela lantai 5 sebuah gedung. Tangga dipasang pada landasan setinggi \( 2 \) meter dari tanah.

Jendela lantai 5 berada pada ketinggian \( 14 \) meter dari tanah.

Truk diparkir pada jarak \( 9 \) meter dari dinding gedung.

Di antara truk dan gedung terdapat pagar pembatas setinggi \( 6 \) meter.

Pertanyaan:

A. Berapakah panjang tangga \( AC \) yang harus dijulurkan agar mencapai jendela?

B. Pada jarak berapakah dari truk pagar tersebut tepat bersentuhan dengan garis tangga?

C. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut elevasi tangga tersebut?

Soal 25.

Sebuah desa membangun sistem irigasi gravitasi dari Mata Air (Titik \( A \)) di puncak bukit menuju Sawah (Titik \( C \)) di kaki bukit.

Profil bukit membentuk segitiga siku-siku.

Tinggi vertikal mata air dari dasar bukit adalah \( 60 \) meter (\( AB \)).

Jarak mendatar dari kaki bukit (\( B \)) ke sawah (\( C \)) adalah \( 80 \) meter (\( BC \)).

Di tengah jalur pipa dipasang Katup Kontrol (Titik \( D \)) yang berjarak mendatar \( 40 \) meter dari kaki bukit.

Pertanyaan:

A. Berapakah panjang total pipa \( AC \)?

B. Berapakah ketinggian Katup Kontrol \( D \) dari dasar bukit?

C. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut kemiringan pipa terhadap garis mendatar?