Prediksi Penalaranan Matematika, bab segitiga
Soal 1.
Sebuah kapal pesiar bertolak dari pelabuhan \( A \) menuju pelabuhan \( B \) yang berjarak \( 20 \) km dengan arah tertentu. Setelah sampai di \( B \), kapal tersebut berbelok \( 60^\circ \) dari arah semula dan menempuh jarak \( 15 \) km menuju pelabuhan \( C \).
Berapakah jarak langsung dari pelabuhan awal \( A \) ke pelabuhan terakhir \( C \)?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Memahami bentuk segitiga
Perjalanan kapal membentuk sebuah segitiga dengan:
\( AB = 20 \) km
\( BC = 15 \) km
Sudut di \( B \) adalah \( 60^\circ \)
Yang ditanyakan adalah panjang \( AC \).
Karena diketahui dua sisi dan sudut apitnya, maka digunakan Aturan Kosinus (materi SMA kelas X).
Rumus Aturan Kosinus:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos \theta \)
Dengan:
\( \theta = 60^\circ \)
Langkah 2: Substitusi nilai
\( AC^2 = 20^2 + 15^2 - 2(20)(15)\cos 60^\circ \)
Kita hitung satu per satu:
\( 20^2 = 400 \)
\( 15^2 = 225 \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
Maka:
\( AC^2 = 400 + 225 - 2(20)(15)\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( AC^2 = 400 + 225 - (600)\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( AC^2 = 400 + 225 - 300 \)
\( AC^2 = 325 \)
Langkah 3: Menentukan panjang \( AC \)
\( AC = \sqrt{325} \)
Faktorkan:
\( 325 = 25 \times 13 \)
Maka:
\( AC = 5\sqrt{13} \)
Jika dihitung desimal:
\( \sqrt{13} \approx 3{,}6 \)
\( AC \approx 5(3{,}6) = 18 \) km
Kesimpulan:
Jarak langsung dari pelabuhan \( A \) ke pelabuhan \( C \) adalah
\( AC = 5\sqrt{13} \) km atau sekitar \( 18 \) km.
Catatan untuk pemula:
Gunakan Aturan Kosinus ketika diketahui:
- Dua sisi segitiga
- Sudut di antara kedua sisi tersebut
Jika yang diketahui bukan sudut apit, maka rumus ini tidak bisa langsung digunakan.
Soal 2.
Seorang arsitek ingin mengukur tinggi sebuah menara tanpa memanjatnya. Dari titik \( D \), ia melihat puncak menara dengan sudut elevasi \( 30^\circ \). Ia kemudian berjalan mendekati menara sejauh \( 100 \) meter ke titik \( E \), dan sudut elevasinya berubah menjadi \( 60^\circ \).
Berapakah tinggi menara tersebut?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Membuat model segitiga siku-siku
Misalkan:
Tinggi menara \( = h \)
Jarak dari titik \( E \) ke kaki menara \( = x \)
Maka jarak dari titik \( D \) ke kaki menara adalah \( x + 100 \).
Kita gunakan rumus trigonometri dasar SMA:
\( \tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} \)
Dari titik \( E \):
\( \tan 60^\circ = \frac{h}{x} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( h = x\sqrt{3} \) ...(1)
Dari titik \( D \):
\( \tan 30^\circ = \frac{h}{x+100} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+100} \)
\( h = \frac{x+100}{\sqrt{3}} \) ...(2)
Langkah 2: Samakan persamaan (1) dan (2)
\( x\sqrt{3} = \frac{x+100}{\sqrt{3}} \)
Kalikan kedua ruas dengan \( \sqrt{3} \) agar penyebut hilang:
\( 3x = x + 100 \)
Langkah 3: Selesaikan persamaan
\( 3x - x = 100 \)
\( 2x = 100 \)
\( x = 50 \)
Langkah 4: Tentukan tinggi menara
Gunakan persamaan (1):
\( h = x\sqrt{3} \)
\( h = 50\sqrt{3} \)
Jika dihitung desimal:
\( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \)
\( h \approx 50(1{,}73) = 86{,}5 \) meter
Kesimpulan:
Tinggi menara adalah
\( h = 50\sqrt{3} \) meter atau sekitar \( 86{,}5 \) meter.
Catatan untuk pemula:
Gunakan rumus:
\( \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Jika diketahui sudut elevasi dan jarak mendatar, maka fungsi yang digunakan adalah tangen.
Soal 3.
Seorang tukang kayu ingin memasang tiang penyangga tegak lurus di tengah-tengah rangka atap berbentuk segitiga sama kaki. Lebar rumah (alas segitiga) adalah \( 12 \) meter dan panjang kemiringan atap (sisi miring segitiga) adalah \( 10 \) meter.
Berapakah panjang tiang penyangga yang harus dipotong?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Memahami bentuk segitiga
Atap berbentuk segitiga sama kaki dengan:
Alas \( = 12 \) meter
Sisi miring \( = 10 \) meter
Karena tiang dipasang tepat di tengah, maka alas terbagi dua sama panjang.
Setengah alas:
\( \frac{12}{2} = 6 \) meter
Segitiga sekarang menjadi segitiga siku-siku dengan:
Sisi miring \( = 10 \)
Sisi alas \( = 6 \)
Tinggi \( = h \) (yang dicari)
Langkah 2: Gunakan Teorema Pythagoras (materi SMA)
Rumus:
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Dalam kasus ini:
\( h^2 + 6^2 = 10^2 \)
Langkah 3: Hitung
\( h^2 + 36 = 100 \)
\( h^2 = 100 - 36 \)
\( h^2 = 64 \)
\( h = 8 \)
Kesimpulan:
Panjang tiang penyangga yang harus dipotong adalah
\( 8 \) meter.
Catatan untuk pemula:
Jika diketahui:
- Sisi miring segitiga siku-siku
- Salah satu sisi lainnya
Maka gunakan rumus:
\( \text{sisi yang dicari} = \sqrt{c^2 - a^2} \)
Gunakan Pythagoras setiap kali ada segitiga siku-siku dan diketahui dua sisi.
Soal 4.
Sebuah kamera CCTV dipasang di sudut langit-langit sebuah lorong yang lebarnya \( 4 \) meter. Kamera tersebut memiliki sudut jangkauan pandang sebesar \( 60^\circ \). Kamera diarahkan tepat ke lantai secara simetris.
Berapakah panjang area lantai yang dapat tertutup oleh jangkauan kamera tersebut?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Memahami situasi geometri
Sudut jangkauan kamera adalah \( 60^\circ \) dan diarahkan simetris, sehingga terbentuk dua segitiga siku-siku yang sama besar.
Masing-masing sudut setengahnya:
\( \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \)
Lebar lorong adalah \( 4 \) meter, sehingga jarak vertikal dari kamera ke lantai adalah \( 4 \) meter.
Kita akan mencari setengah panjang jangkauan lantai terlebih dahulu.
Langkah 2: Gunakan rumus tangen (materi SMA)
Rumus:
\( \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Untuk satu sisi:
\( \tan 30^\circ = \frac{x}{4} \)
Diketahui:
\( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Maka:
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{4} \)
Langkah 3: Hitung nilai \( x \)
\( x = \frac{4}{\sqrt{3}} \)
Rasionalisasi penyebut:
\( x = \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
Itu adalah setengah panjang jangkauan.
Langkah 4: Hitung panjang total
Panjang total lantai yang tertutup:
\( 2x = 2 \times \frac{4\sqrt{3}}{3} \)
\( = \frac{8\sqrt{3}}{3} \)
Jika dihitung desimal:
\( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \)
\( \frac{8(1{,}73)}{3} \approx 4{,}6 \) meter
Kesimpulan:
Panjang area lantai yang tertutup oleh kamera adalah
\( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) meter atau sekitar \( 4{,}6 \) meter.
Catatan untuk pemula:
Jika diketahui sudut dan tinggi (jarak vertikal), maka gunakan:
\( \tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} \)
Karena sudut simetris, selalu bagi dua sudut total terlebih dahulu.
Soal 5.
Sebuah jembatan gantung memiliki kabel penyangga utama yang membentuk garis lurus dari puncak menara setinggi \( 30 \) meter menuju permukaan jalan yang berjarak \( 50 \) meter dari kaki menara.
Jika dipasang tiang penyangga vertikal tambahan pada jarak \( 20 \) meter dari kaki menara, berapakah tinggi tiang penyangga tersebut?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Memahami bentuk segitiga
Kabel utama membentuk segitiga siku-siku dengan:
Tinggi menara \( = 30 \) meter
Jarak horizontal \( = 50 \) meter
Karena kabel membentuk garis lurus, maka tinggi kabel berkurang secara linear.
Ini dapat diselesaikan menggunakan kesebangunan segitiga (materi SMA).
Langkah 2: Bentuk perbandingan kesebangunan
Segitiga besar:
Tinggi \( = 30 \)
Alas \( = 50 \)
Segitiga kecil (pada jarak \( 20 \) meter):
Tinggi \( = h \)
Alas \( = 50 - 20 = 30 \)
Karena segitiga sebangun:
\( \frac{h}{30} = \frac{30}{50} \)
Langkah 3: Hitung nilai \( h \)
\( h = 30 \times \frac{30}{50} \)
\( h = 30 \times \frac{3}{5} \)
\( h = 18 \)
Kesimpulan:
Tinggi tiang penyangga tambahan adalah
\( 18 \) meter.
Catatan untuk pemula:
Jika dua segitiga memiliki:
- Sudut yang sama
- Bentuk yang sama
Maka berlaku perbandingan:
\( \frac{\text{tinggi kecil}}{\text{tinggi besar}} = \frac{\text{alas kecil}}{\text{alas besar}} \)
Gunakan kesebangunan ketika garis membentuk satu garis lurus dan membagi segitiga besar menjadi segitiga-segitiga kecil.
Soal 6.
Sebuah rangka atap rumah berbentuk segitiga sama kaki \( ABC \). Lebar rumah (alas \( AB \)) adalah \( 10 \) meter. Sudut kemiringan atap pada kedua sisi adalah \( 30^\circ \).
Titik \( M \) adalah titik tengah alas \( AB \). Dipasang tiang penyangga utama \( MC \) secara vertikal menuju puncak atap.
Untuk memperkuat rangka, dipasang dua tiang vertikal kecil, salah satunya \( DE \), yang berjarak \( 2 \) meter dari sudut \( A \).
Pertanyaan:
A. Berapakah tinggi tiang utama \( MC \)? (Gunakan \( \tan 30^\circ \approx 0{,}58 \))
B. Berapakah tinggi tiang kecil \( DE \)?
C. Buktikan bahwa segitiga \( AMC \) dan \( BMC \) kongruen.
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan tinggi \( MC \)
Karena segitiga sama kaki, maka:
\( AM = \frac{10}{2} = 5 \) meter
Gunakan rumus tangen (materi SMA):
\( \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan 30^\circ = \frac{MC}{AM} \)
\( 0{,}58 = \frac{MC}{5} \)
\( MC = 5 \times 0{,}58 \)
\( MC = 2{,}9 \) meter
Jawaban A: \( MC = 2{,}9 \) meter
B. Menentukan tinggi tiang kecil \( DE \)
Titik \( D \) berjarak \( 2 \) meter dari \( A \), sehingga:
\( AD = 2 \)
Segitiga kecil \( ADE \) sebangun dengan segitiga besar \( AMC \).
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{DE}{MC} = \frac{AD}{AM} \)
\( \frac{DE}{2{,}9} = \frac{2}{5} \)
\( DE = 2{,}9 \times \frac{2}{5} \)
\( DE = 1{,}16 \) meter
Jawaban B: \( DE = 1{,}16 \) meter
C. Membuktikan segitiga \( AMC \) dan \( BMC \) kongruen
Diketahui:
\( AM = MB = 5 \) (karena \( M \) titik tengah)
\( MC \) adalah sisi yang sama (berhimpit)
\( \angle AMC = \angle BMC = 90^\circ \)
Karena dua sisi dan satu sudut yang diapit sama, maka segitiga kongruen menurut aturan:
SAS (Side-Angle-Side)
Maka:
\( \triangle AMC \cong \triangle BMC \)
Kesimpulan:
Tinggi tiang utama adalah \( 2{,}9 \) meter.
Tinggi tiang kecil adalah \( 1{,}16 \) meter.
Segitiga \( AMC \) dan \( BMC \) kongruen menurut aturan SAS.
Soal 7.
Sebuah tim Pramuka ingin mengukur lebar sungai tanpa menyeberanginya. Di seberang sungai terdapat pohon \( P \) yang tepat di tepi air.
Seorang pramuka berdiri di titik \( A \) tepat berhadapan dengan pohon \( P \), sehingga garis \( AP \) tegak lurus tepi sungai.
Ia berjalan menyusuri tepi sungai sejauh \( 10 \) meter dan berhenti di titik \( B \). Kemudian ia berjalan lagi searah garis \( AB \) sejauh \( 5 \) meter hingga tiba di titik \( C \) (sehingga \( AC = 15 \) meter).
Dari titik \( C \), ia berjalan menjauhi sungai (tegak lurus garis \( AC \)) hingga titik \( D \) sedemikian sehingga titik \( B \), \( D \), dan \( P \) segaris.
Jarak \( CD \) diukur dan diperoleh \( 4 \) meter.
Pertanyaan:
A. Buktikan bahwa segitiga \( \triangle ABP \) dan \( \triangle CBD \) sebangun.
B. Berapakah lebar sungai tersebut (jarak \( AP \))?
C. Jika sudut \( \angle CDB = 51^\circ \), berapakah sudut \( \angle APB \)?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Membuktikan kesebangunan
Diketahui:
\( AP \perp AB \) sehingga \( \angle PAB = 90^\circ \)
\( CD \perp AC \) sehingga \( \angle BCD = 90^\circ \)
Titik \( B \), \( D \), dan \( P \) segaris, sehingga sudut di \( B \) sama:
\( \angle PBA = \angle CBD \)
Karena memiliki:
- Satu sudut siku-siku yang sama besar
- Satu sudut lain yang sama besar
Maka berdasarkan kriteria sudut-sudut (AA):
\( \triangle ABP \sim \triangle CBD \)
B. Menentukan lebar sungai \( AP \)
Diketahui:
\( AB = 10 \)
\( AC = 15 \)
\( BC = 5 \)
\( CD = 4 \)
Karena segitiga sebangun:
\( \frac{AP}{CD} = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{AP}{4} = \frac{10}{5} \)
\( \frac{AP}{4} = 2 \)
\( AP = 8 \)
Jawaban B: Lebar sungai \( = 8 \) meter.
C. Menentukan sudut \( \angle APB \)
Karena segitiga sebangun, maka sudut bersesuaian sama besar.
\( \angle APB = \angle CDB \)
Diketahui:
\( \angle CDB = 51^\circ \)
Maka:
\( \angle APB = 51^\circ \)
Kesimpulan:
Segitiga \( \triangle ABP \) dan \( \triangle CBD \) sebangun menurut kriteria AA.
Lebar sungai adalah \( 8 \) meter.
Sudut \( \angle APB = 51^\circ \).
Soal 8.
Dua stasiun radar \( A \) dan \( B \) berjarak \( 500 \) km. Sebuah satelit berada di antara kedua stasiun tersebut.
Stasiun \( A \) mendeteksi satelit dengan sudut elevasi \( 45^\circ \), sedangkan stasiun \( B \) mendeteksi satelit yang sama dengan sudut elevasi \( 75^\circ \).
\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ\)
\(\sin 75^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac12\right) =\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
\(\cos 75^\circ = \cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ\)
\(\cos 75^\circ=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\frac12\right) =\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
Berapakah jarak satelit tersebut dari stasiun \( A \)?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Membentuk segitiga
Dibentuk segitiga \( \triangle ABS \) dengan:
\( AB = 500 \)
\( \angle A = 45^\circ \)
\( \angle B = 75^\circ \)
Jumlah sudut segitiga adalah:
\( 180^\circ \)
Maka sudut di satelit \( S \):
\( \angle S = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) \)
\( \angle S = 60^\circ \)
Langkah 2: Gunakan Hukum Sinus (materi SMA)
Rumus:
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
Kita ingin mencari \( AS \).
Sisi yang berhadapan dengan sudut \( 75^\circ \) adalah \( AS \).
Maka:
\( \frac{AS}{\sin 75^\circ} = \frac{500}{\sin 60^\circ} \)
Langkah 3: Substitusi nilai
\( AS = 500 \times \frac{\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \)
Diketahui:
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin 75^\circ \approx 0{,}97 \)
Maka:
\( AS = 500 \times \frac{0{,}97}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
\( AS = 500 \times \frac{1{,}94}{\sqrt{3}} \)
\( AS \approx 500 \times \frac{1{,}94}{1{,}73} \)
\( AS \approx 500 \times 1{,}12 \)
\( AS \approx 560 \) km
Kesimpulan:
Jarak satelit dari stasiun \( A \) adalah sekitar
\( 560 \) km.
Catatan untuk pemula:
Gunakan Hukum Sinus ketika:
- Diketahui dua sudut dan satu sisi
- Atau diketahui satu sudut dan dua sisi yang tidak mengapit sudut
Langkah pertama selalu cari sudut ketiga dengan:
\( 180^\circ - (\text{jumlah dua sudut}) \)
Soal 9.
Sebuah kapal tim SAR berada di Posisi \( A \). Mereka menerima sinyal darurat dari kapal nelayan di Posisi \( C \).
Berdasarkan radar, kapal \( C \) berada pada arah \( 030^\circ \) (30 derajat dari utara ke arah timur) dari Posisi \( A \).
Karena adanya karang, kapal SAR harus terlebih dahulu menuju Titik Pantau \( B \) yang berjarak \( 12 \) km tepat di sebelah timur dari Posisi \( A \).
Setelah sampai di Titik \( B \), radar menunjukkan kapal \( C \) berada pada arah \( 330^\circ \) (30 derajat ke arah barat dari utara).
Pertanyaan:
A. Berapakah jarak langsung antara titik \( A \) dan titik \( C \)?
B. Berapakah jarak dari titik \( B \) ke titik \( C \)?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Menentukan sudut segitiga
Arah \( 030^\circ \) berarti sudut antara \( AC \) dan arah utara adalah \( 30^\circ \).
Arah \( 330^\circ \) berarti sudut antara \( BC \) dan arah utara adalah \( 30^\circ \) ke arah barat.
Karena titik \( B \) berada tepat di timur dari \( A \), maka garis \( AB \) membentuk sudut \( 90^\circ \) terhadap arah utara.
Maka sudut di titik \( A \) pada segitiga \( ABC \):
\( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
Sudut di titik \( B \):
\( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
Maka sudut di titik \( C \):
\( 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) \)
\( = 60^\circ \)
Segitiga \( ABC \) adalah segitiga sama sisi.
Langkah 2: Gunakan sifat segitiga sama sisi
Diketahui:
\( AB = 12 \) km
Karena semua sudut \( 60^\circ \), maka:
\( AC = BC = AB \)
Jawaban A:
\( AC = 12 \) km
Jawaban B:
\( BC = 12 \) km
Catatan untuk pemula:
Jika dalam segitiga ketiga sudut sama besar \( 60^\circ \), maka segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi dan semua sisinya sama panjang.
Soal 10.
Seorang surveyor ingin mengukur lebar sebuah sungai yang arusnya sangat deras. Di seberang sungai terdapat pohon pada titik \( P \) yang tepat berada di tepi air.
Surveyor berdiri di titik \( A \) tepat berhadapan dengan pohon tersebut sehingga garis \( AP \) tegak lurus terhadap tepi sungai.
Ia berjalan menyusuri tepi sungai sejauh \( 80 \) meter ke titik \( B \). Di titik \( B \), ia mengukur sudut antara garis pantai \( BA \) dan garis pandang ke pohon \( BP \), dan diperoleh sudut sebesar \( 35^\circ \).
\(\sin 35^\circ \approx 0.5736\)
\(\cos 35^\circ \approx 0.8192\)
Untuk memastikan hasilnya, ia berjalan lagi sejauh \( 40 \) meter ke titik \( C \) sehingga jarak \( AC = 120 \) meter.
Tentukan lebar sungai tersebut (jarak \( AP \)).
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Membentuk segitiga siku-siku
Karena \( AP \) tegak lurus tepi sungai, maka segitiga \( ABP \) adalah segitiga siku-siku di titik \( A \).
Diketahui:
\( AB = 80 \)
\( \angle ABP = 35^\circ \)
Kita gunakan rumus tangen (materi SMA):
\( \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Dalam segitiga \( ABP \):
\( \tan 35^\circ = \frac{AP}{AB} \)
Langkah 2: Substitusi nilai
\( \tan 35^\circ \approx 0{,}70 \)
Maka:
\( 0{,}70 = \frac{AP}{80} \)
\( AP = 80 \times 0{,}70 \)
\( AP = 56 \)
Kesimpulan:
Lebar sungai tersebut adalah
\( 56 \) meter.
Catatan untuk pemula:
Jika diketahui:
- Sudut pada segitiga siku-siku
- Sisi yang berdekatan dengan sudut
Maka gunakan:
\( \tan \theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Karena yang dicari adalah sisi depan, maka:
\( \text{sisi depan} = \text{sisi samping} \times \tan \theta \)
Soal 11.
Seorang petugas pemetaan ingin mengukur lebar sungai besar. Di seberang sungai terdapat Tiang Listrik pada titik \( T \) yang tepat berada di tepi air.
Petugas berdiri di titik \( A \) yang tepat berhadapan dengan tiang tersebut sehingga garis \( AT \) tegak lurus terhadap tepi sungai.
Ia berjalan menyusuri tepi sungai sejauh \( 30 \) meter ke titik \( B \), lalu berjalan lagi sejauh \( 10 \) meter ke titik \( C \) sehingga \( AC = 40 \) meter.
Dari titik \( C \), ia berjalan menjauhi sungai secara tegak lurus sejauh \( 15 \) meter hingga titik \( D \), sehingga titik \( B \), \( D \), dan \( T \) berada dalam satu garis lurus.
Pertanyaan:
A. Dengan membandingkan segitiga \( \triangle ABT \) dan \( \triangle CBD \), tentukan lebar sungai (jarak \( AT \)).
B. Jika ingin mengecek dengan sudut, berapakah besar sudut \( \angle ATB \)? (Gunakan \( \tan 63{,}4^\circ \approx 2 \)).
C. Jika titik \( C \) digeser lebih jauh lagi sepanjang tepi sungai, apakah rasio kesebangunannya berubah?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan lebar sungai \( AT \)
Diketahui:
\( AB = 30 \)
\( AC = 40 \)
\( BC = 10 \)
\( CD = 15 \)
Karena:
\( AT \perp AB \)
\( CD \perp CB \)
Dan titik \( B \), \( D \), dan \( T \) segaris, maka:
\( \triangle ABT \sim \triangle CBD \)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{AT}{CD} = \frac{AB}{BC} \)
\( \frac{AT}{15} = \frac{30}{10} \)
\( \frac{AT}{15} = 3 \)
\( AT = 45 \)
Jawaban A: Lebar sungai \( = 45 \) meter.
B. Menentukan sudut \( \angle ATB \)
Pada segitiga siku-siku \( ABT \):
\( \tan \angle ATB = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan \angle ATB = \frac{AB}{AT} \)
\( \tan \angle ATB = \frac{30}{45} \)
\( \tan \angle ATB = \frac{2}{3} \)
Diketahui:
\( \tan 63{,}4^\circ \approx 2 \)
Karena:
\( \frac{2}{3} \lt 1 \)
Maka sudutnya lebih kecil dari \( 45^\circ \).
Nilai pendekatan:
\( \angle ATB \approx 33{,}7^\circ \)
Jawaban B: \( \angle ATB \approx 33{,}7^\circ \).
C. Analisis Rasio Kesebangunan
Jika titik \( C \) digeser lebih jauh sepanjang garis lurus tepi sungai, maka:
\( AB \) dan \( BC \) berubah secara proporsional.
Selama garis tetap lurus dan sudut tetap sama, maka:
Rasio kesebangunan tetap konstan.
Kesimpulan:
Lebar sungai adalah \( 45 \) meter.
Sudut \( \angle ATB \approx 33{,}7^\circ \).
Rasio kesebangunan tidak berubah selama konfigurasi sudut tetap.
Soal 12.
Seorang siswa bernama Budi ingin mengetahui tinggi sebuah pohon Randu tanpa memanjatnya. Ia menggunakan metode bayangan matahari.
Tinggi badan Budi adalah \( 1{,}6 \) meter. Pada pukul 09.00 pagi, panjang bayangan Budi di tanah adalah \( 2 \) meter.
Pada saat yang sama, panjang bayangan pohon Randu tersebut adalah \( 15 \) meter.
Pertanyaan:
A. Berapakah tinggi pohon Randu tersebut?
B. Jika \( \theta \) adalah sudut elevasi matahari terhadap tanah, berapakah nilai \( \tan(\theta) \)?
C. Jika pengukuran dilakukan pukul 12.00 siang saat matahari tepat di atas kepala, apakah metode ini masih dapat digunakan?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan tinggi pohon dengan kesebangunan
Karena sinar matahari datang dengan sudut yang sama, maka terbentuk dua segitiga yang sebangun:
- Segitiga kecil (tinggi Budi dan bayangannya)
- Segitiga besar (tinggi pohon dan bayangannya)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{\text{tinggi pohon}}{\text{bayangan pohon}} = \frac{\text{tinggi Budi}}{\text{bayangan Budi}} \)
\( \frac{h}{15} = \frac{1{,}6}{2} \)
\( \frac{1{,}6}{2} = 0{,}8 \)
\( h = 15 \times 0{,}8 \)
\( h = 12 \)
Jawaban A: Tinggi pohon \( = 12 \) meter.
B. Menentukan nilai \( \tan(\theta) \)
Pada segitiga kecil:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{1{,}6}{2} \)
\( \tan(\theta) = 0{,}8 \)
Jawaban B: \( \tan(\theta) = 0{,}8 \)
C. Analisis kondisi pukul 12.00
Pada pukul 12.00 siang saat matahari tepat di atas kepala, bayangan benda sangat pendek atau mendekati nol.
Karena metode ini memerlukan perbandingan panjang bayangan, maka jika:
\( \text{panjang bayangan} \to 0 \)
Maka perbandingan tidak dapat dilakukan.
Kesimpulan:
Tinggi pohon adalah \( 12 \) meter.
\( \tan(\theta) = 0{,}8 \).
Pada pukul 12.00 siang metode kesebangunan tidak efektif digunakan.
Soal 13.
Sebuah gedung perkantoran memiliki lift kaca di bagian luar gedung. Di depan gedung terdapat sebuah tiang lampu jalan dengan tinggi \( 6 \) meter.
Pada malam hari, lampu di puncak tiang menyala. Cahaya lampu tersebut membentuk garis lurus dari puncak tiang, melewati puncak pagar pembatas setinggi \( 2 \) meter yang berjarak \( 4 \) meter dari tiang, kemudian mengenai dinding gedung.
Jarak pagar ke dinding gedung adalah \( 10 \) meter.
Pertanyaan:
A. Pada ketinggian berapakah cahaya tersebut mengenai dinding gedung?
B. Jika dianggap sebagai dua segitiga sebangun, berapakah rasio perbandingannya?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Memahami dua segitiga sebangun
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 6 - 2 = 4 \) meter
Alas \( = 4 \) meter
Segitiga besar:
Tinggi \( = 6 - h \)
Alas \( = 4 + 10 = 14 \) meter
Karena cahaya membentuk garis lurus, maka kedua segitiga sebangun.
Langkah 2: Gunakan perbandingan kesebangunan
\( \frac{4}{4} = \frac{6 - h}{14} \)
\( 1 = \frac{6 - h}{14} \)
\( 6 - h = 14 \)
\( h = 6 - 14 \)
\( h = -8 \)
Nilai negatif tidak mungkin, berarti kita harus membandingkan tinggi dari tanah secara langsung.
Langkah 3: Bandingkan tinggi langsung
Segitiga kecil:
\( \frac{2}{4} = \frac{h}{14} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{h}{14} \)
\( h = 7 \)
Jawaban A: Cahaya mengenai dinding pada ketinggian \( 7 \) meter.
B. Rasio perbandingan
Perbandingan alas:
\( \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \)
Maka rasio kesebangunan:
\( 2 : 7 \)
Kesimpulan:
Ketinggian cahaya pada dinding adalah \( 7 \) meter.
Rasio kesebangunan segitiga kecil dan besar adalah \( 2 : 7 \).
Soal 14.
Di sebuah bandara terdapat gedung parkir dengan tinggi \( 20 \) meter. Di depan gedung tersebut, berjarak \( 15 \) meter dari dinding gedung, terdapat sebuah patung pada titik \( P \) dengan tinggi \( 4 \) meter.
Pada suatu sore hari, posisi matahari menyebabkan puncak gedung tepat membentuk bayangan yang mengenai kaki patung \( P \).
Pada saat yang sama, sebuah lift kaca eksternal sedang bergerak naik di dinding gedung tersebut.
Pertanyaan:
A. Berapakah panjang bayangan gedung tersebut?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan panjang bayangan gedung
Diketahui:
Tinggi gedung \( = 20 \) meter
Bayangan mengenai kaki patung yang berjarak \( 15 \) meter
Maka panjang bayangan gedung adalah:
\( 15 \) meter
Jawaban A: Panjang bayangan \( = 15 \) meter.
B. Menentukan tinggi lift \( h \)
Gunakan prinsip kesebangunan segitiga (materi SMA).
Segitiga besar (gedung):
\( \frac{\text{tinggi}}{\text{bayangan}} = \frac{20}{15} \)
Segitiga kecil (lift dan patung):
\( \frac{h}{15} = \frac{4}{15} \)
Gunakan perbandingan yang sama:
\( \frac{20}{15} = \frac{h}{15 - 15} \)
Karena posisi lift harus membentuk sudut yang sama, maka perbandingan tinggi terhadap alas sama:
\( \frac{20}{15} = \frac{h}{15} \)
\( h = 20 \)
Namun agar bayangan tepat mengenai puncak patung setinggi \( 4 \) meter, gunakan perbandingan langsung:
\( \frac{20}{15} = \frac{4}{x} \)
\( x = 3 \)
Maka tinggi lift:
\( h = 20 - 3 \)
\( h = 17 \)
Jawaban B: Lift berada pada ketinggian \( 17 \) meter.
Kesimpulan:
Panjang bayangan gedung adalah \( 15 \) meter.
Lift harus berada pada ketinggian \( 17 \) meter agar bayangannya tepat mengenai puncak patung.
Soal 15.
Seorang teknisi berada di dalam gedung yang memiliki lorong lift transparan. Di luar gedung terdapat sebuah tembok penahan setinggi \( 3 \) meter. Jarak dari lorong lift ke tembok penahan tersebut adalah \( 6 \) meter.
Di seberang tembok penahan (lebih jauh lagi), terdapat sebuah lampu taman setinggi \( 1 \) meter. Jarak antara lampu taman dan tembok penahan adalah \( 2 \) meter.
Cahaya dari lampu taman mengenai puncak tembok penahan dan kemudian merambat lurus hingga mengenai lorong lift di dinding gedung.
Pertanyaan:
A. Pada ketinggian berapakah cahaya tersebut mengenai lorong lift?
B. Berapakah rasio kesebangunan antara segitiga kecil dan segitiga besar?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Membentuk dua segitiga sebangun
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 3 - 1 = 2 \) meter
Alas \( = 2 \) meter
Segitiga besar:
Tinggi \( = h - 1 \)
Alas \( = 2 + 6 = 8 \) meter
Karena cahaya membentuk garis lurus, maka berlaku kesebangunan.
Langkah 2: Gunakan perbandingan
\( \frac{2}{2} = \frac{h - 1}{8} \)
\( 1 = \frac{h - 1}{8} \)
\( h - 1 = 8 \)
\( h = 9 \)
Jawaban A: Cahaya mengenai lorong lift pada ketinggian \( 9 \) meter.
B. Rasio kesebangunan
Perbandingan alas:
\( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
Maka rasio segitiga kecil : segitiga besar adalah
\( 1 : 4 \)
Kesimpulan:
Ketinggian cahaya pada lorong lift adalah \( 9 \) meter.
Rasio kesebangunan adalah \( 1 : 4 \).
Soal 16.
Seorang detektif ingin melihat sebuah brankas pada titik \( B \) yang tersembunyi di balik tembok lorong. Ia meletakkan sebuah cermin kecil datar pada titik \( C \) di lantai lorong agar dapat melihat pantulan brankas tersebut.
Mata detektif berada pada ketinggian \( 1{,}5 \) meter dari lantai dan berjarak \( 2 \) meter dari posisi cermin.
Jika ditarik garis lurus dari cermin ke posisi brankas, jaraknya adalah \( 6 \) meter.
Sinar cahaya dari brankas mengenai cermin dan memantul tepat ke mata detektif sehingga membentuk dua segitiga siku-siku yang sebangun dan bertemu di titik \( C \).
Pertanyaan:
A. Berapakah tinggi brankas tersebut?
B. Jika sudut antara lantai dan garis pandang detektif ke cermin adalah \( 37^\circ \), berapakah sudut datang sinar dari brankas ke cermin?
C. Jika detektif ingin melihat objek yang lebih tinggi pada posisi yang sama, apakah ia harus mendekat atau menjauh dari cermin?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan tinggi brankas
Dua segitiga yang terbentuk adalah sebangun.
Segitiga kecil (mata detektif):
Tinggi \( = 1{,}5 \)
Alas \( = 2 \)
Segitiga besar (brankas):
Tinggi \( = h \)
Alas \( = 6 \)
Gunakan perbandingan kesebangunan:
\( \frac{h}{6} = \frac{1{,}5}{2} \)
\( \frac{1{,}5}{2} = 0{,}75 \)
\( h = 6 \times 0{,}75 \)
\( h = 4{,}5 \)
Jawaban A: Tinggi brankas \( = 4{,}5 \) meter.
B. Menentukan sudut datang sinar
Hukum pemantulan menyatakan:
\( \text{sudut datang} = \text{sudut pantul} \)
Jika sudut antara lantai dan garis pandang adalah \( 37^\circ \), maka sudut pantul terhadap garis normal sama besar.
Maka sudut datang sinar dari brankas juga:
\( 37^\circ \)
Jawaban B: Sudut datang \( = 37^\circ \).
C. Analisis posisi detektif
Dari perbandingan:
\( \frac{h}{\text{jarak besar}} = \frac{1{,}5}{2} \)
Jika ingin melihat objek yang lebih tinggi (\( h \) lebih besar), maka jarak kecil harus diperbesar.
Artinya detektif harus menjauh dari cermin.
Kesimpulan:
Tinggi brankas \( = 4{,}5 \) meter.
Sudut datang sinar \( = 37^\circ \).
Untuk melihat objek lebih tinggi, detektif harus menjauh dari cermin.
Soal 17.
Seorang pemain biliar ingin memasukkan Bola Target \( T \) ke dalam lubang pojok, namun jalurnya terhalang. Ia harus memantulkan Bola Putih \( P \) ke bantalan meja terlebih dahulu.
Posisi Bola Putih \( P \) berjarak \( 30 \) cm secara tegak lurus dari bantalan meja.
Posisi Bola Target \( T \) berjarak \( 60 \) cm secara tegak lurus dari bantalan meja yang sama.
Jarak horizontal (sejajar bantalan meja) antara posisi \( P \) dan \( T \) adalah \( 120 \) cm.
Pemain harus menentukan titik pantul \( X \) pada bantalan meja agar Bola Putih memantul dan mengenai Bola Target.
Pertanyaan:
A. Berapakah jarak horizontal dari \( P \) ke titik pantul \( X \) (misalkan jarak tersebut adalah \( d \))?
B. Jika sudut pantul terhadap bantalan meja adalah \( \theta \), buktikan bahwa \( \tan(\theta) \) untuk dua segitiga tersebut sama.
C. Jika jarak target dari bantalan menjadi dua kali lebih jauh, apakah titik pantul mendekati atau menjauhi posisi Bola Putih?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan jarak \( d \)
Gunakan prinsip kesebangunan dan hukum pemantulan (sudut datang = sudut pantul).
Dua segitiga yang terbentuk sebangun.
Segitiga pertama:
Tinggi \( = 30 \)
Alas \( = d \)
Segitiga kedua:
Tinggi \( = 60 \)
Alas \( = 120 - d \)
Karena sebangun:
\( \frac{30}{d} = \frac{60}{120 - d} \)
Kalikan silang:
\( 30(120 - d) = 60d \)
\( 3600 - 30d = 60d \)
\( 3600 = 90d \)
\( d = 40 \)
Jawaban A: \( d = 40 \) cm.
B. Membuktikan \( \tan(\theta) \) sama
Pada segitiga pertama:
\( \tan(\theta) = \frac{30}{40} \)
\( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \)
Pada segitiga kedua:
\( \tan(\theta) = \frac{60}{120 - 40} \)
\( \tan(\theta) = \frac{60}{80} \)
\( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \)
Karena:
\( \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \)
Maka terbukti bahwa \( \tan(\theta) \) sama.
C. Analisis perubahan jarak target
Jika jarak target dari bantalan menjadi dua kali lebih jauh, maka perbandingan berubah menjadi:
\( \frac{30}{d} = \frac{120}{240 - d} \)
Agar kesebangunan tetap, nilai \( d \) menjadi lebih besar.
Artinya titik pantul bergeser menjauhi posisi Bola Putih.
Kesimpulan:
Titik pantul berada \( 40 \) cm dari posisi Bola Putih secara horizontal.
Nilai \( \tan(\theta) \) pada kedua segitiga adalah sama.
Jika target lebih jauh, titik pantul akan menjauhi posisi Bola Putih.
Soal 18.
Sebuah rumah sakit membangun ramp (jalan landai) untuk kursi roda agar pasien dapat naik ke lantai utama yang tingginya \( 1{,}5 \) meter dari tanah.
Sesuai standar keamanan, setiap \( 5 \) meter panjang mendatar hanya boleh menaikkan tinggi sebesar \( 0{,}5 \) meter.
Untuk memperkuat struktur, dipasang tiang penyangga vertikal \( DE \) tepat di tengah panjang mendatar ramp tersebut.
Pertanyaan:
A. Berapakah panjang total alas mendatar \( AB \) yang diperlukan agar ramp mencapai tinggi \( 1{,}5 \) meter?
B. Berapakah tinggi tiang penyangga vertikal \( DE \) di tengah alas mendatar tersebut?
C. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut kemiringan ramp?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan panjang alas \( AB \)
Diketahui standar:
\( 5 \) meter mendatar \( \to 0{,}5 \) meter naik
Artinya perbandingan:
\( \frac{0{,}5}{5} = \frac{1}{10} \)
Tinggi total yang dibutuhkan:
\( 1{,}5 \) meter
Gunakan perbandingan langsung:
\( \frac{1{,}5}{AB} = \frac{0{,}5}{5} \)
\( \frac{1{,}5}{AB} = \frac{1}{10} \)
\( AB = 1{,}5 \times 10 \)
\( AB = 15 \)
Jawaban A: \( AB = 15 \) meter.
B. Menentukan tinggi tiang \( DE \)
Titik tengah alas:
\( \frac{15}{2} = 7{,}5 \) meter
Karena kenaikan proporsional:
\( \frac{1{,}5}{15} = \frac{DE}{7{,}5} \)
\( \frac{1{,}5}{15} = \frac{1}{10} \)
\( DE = 7{,}5 \times \frac{1}{10} \)
\( DE = 0{,}75 \)
Jawaban B: \( DE = 0{,}75 \) meter.
C. Menentukan \( \tan(\theta) \)
Rumus trigonometri SMA:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{1{,}5}{15} \)
\( \tan(\theta) = 0{,}1 \)
Karena:
\( 0{,}1 \lt 1 \)
Maka sudutnya landai sesuai standar keamanan.
Kesimpulan:
Panjang alas ramp \( = 15 \) meter.
Tinggi tiang tengah \( = 0{,}75 \) meter.
\( \tan(\theta) = 0{,}1 \).
Soal 19.
Sebuah Gedung Utama memiliki Menara Antena di puncaknya. Di samping gedung tersebut terdapat Gedung Parkir yang lebih rendah dengan tinggi \( 20 \) meter. Jarak antara Gedung Utama dan Gedung Parkir adalah \( 30 \) meter.
Pada sore hari, posisi matahari menyebabkan bayangan puncak Menara Antena jatuh tepat di tepi atap Gedung Parkir.
Pada saat yang sama, seorang teknisi berada di dalam lift kaca yang bergerak naik di dinding Gedung Utama. Ketika lift berada pada ketinggian \( 12 \) meter dari tanah, teknisi melihat bahwa bayangan ujung kepalanya jatuh tepat di dasar Gedung Parkir.
Pertanyaan:
A. Berapakah sudut elevasi matahari saat itu?
B. Berapakah tinggi total Gedung Utama beserta Menara Antena tersebut?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan sudut elevasi matahari
Gunakan segitiga yang dibentuk oleh teknisi:
Tinggi teknisi dari tanah \( = 12 \)
Jarak mendatar ke Gedung Parkir \( = 30 \)
Gunakan rumus trigonometri:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{12}{30} \)
\( \tan(\theta) = 0{,}4 \)
Karena:
\( 0{,}4 \lt 1 \)
Maka sudut elevasi kurang dari \( 45^\circ \).
Nilai pendekatan:
\( \theta \approx 21{,}8^\circ \)
Jawaban A: \( \tan(\theta) = 0{,}4 \) dan \( \theta \approx 21{,}8^\circ \).
B. Menentukan tinggi total gedung
Bayangan puncak Menara Antena jatuh tepat di tepi atap Gedung Parkir.
Tinggi Gedung Parkir \( = 20 \)
Jarak horizontal \( = 30 \)
Gunakan rasio yang sama:
\( \tan(\theta) = \frac{H - 20}{30} \)
Diketahui dari bagian A:
\( \tan(\theta) = 0{,}4 \)
Maka:
\( 0{,}4 = \frac{H - 20}{30} \)
\( H - 20 = 12 \)
\( H = 32 \)
Jawaban B: Tinggi total Gedung Utama dan Menara Antena adalah \( 32 \) meter.
Kesimpulan:
\( \tan(\theta) = 0{,}4 \).
Tinggi total bangunan \( = 32 \) meter.
Soal 20.
Seorang fotografer satwa ingin memotret seekor burung elang yang hinggap di puncak pohon. Kamera yang digunakan memiliki sensor digital dengan tinggi \( 24 \) mm atau \( 0{,}024 \) meter.
Cahaya dari burung masuk melalui lensa dan membentuk bayangan terbalik pada sensor. Ini membentuk dua segitiga yang sebangun dengan titik pusat pada lensa.
Diketahui jarak lensa ke sensor (panjang fokus) adalah \( 200 \) mm atau \( 0{,}2 \) meter. Tinggi asli burung elang adalah \( 0{,}6 \) meter.
Fotografer ingin agar bayangan burung tepat memenuhi tinggi sensor \( 0{,}024 \) meter.
Pertanyaan:
A. Pada jarak berapakah fotografer harus berdiri dari pohon?
B. Jika fotografer mundur \( 5 \) meter dari posisi awal, berapakah tinggi bayangan burung pada sensor sekarang?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan jarak fotografer
Gunakan prinsip kesebangunan segitiga:
\( \frac{\text{tinggi bayangan}}{\text{tinggi benda}} = \frac{\text{jarak lensa ke sensor}}{\text{jarak benda ke lensa}} \)
\( \frac{0{,}024}{0{,}6} = \frac{0{,}2}{d} \)
Hitung ruas kiri:
\( \frac{0{,}024}{0{,}6} = 0{,}04 \)
Maka:
\( 0{,}04 = \frac{0{,}2}{d} \)
\( d = \frac{0{,}2}{0{,}04} \)
\( d = 5 \)
Jawaban A: Fotografer harus berdiri pada jarak \( 5 \) meter.
B. Jika mundur 5 meter
Jarak baru:
\( d = 5 + 5 \)
\( d = 10 \)
Gunakan rumus yang sama:
\( \frac{h'}{0{,}6} = \frac{0{,}2}{10} \)
\( \frac{0{,}2}{10} = 0{,}02 \)
\( h' = 0{,}6 \times 0{,}02 \)
\( h' = 0{,}012 \)
Jawaban B: Tinggi bayangan sekarang \( = 0{,}012 \) meter atau \( 12 \) mm.
Kesimpulan:
Jarak awal yang diperlukan adalah \( 5 \) meter.
Jika mundur \( 5 \) meter, tinggi bayangan menjadi \( 12 \) mm.
Soal 21.
Sebuah pabrik pesawat mendesain sayap model tapered wing (semakin mengecil ke ujung). Jika dilihat dari atas, bentuk sayap dapat dimodelkan sebagai segitiga besar.
Lebar sayap di pangkal (titik \( AC \)) adalah \( 4 \) meter.
Lebar sayap di ujung (titik \( EG \)) adalah \( 1 \) meter.
Panjang sayap dari pangkal ke ujung (jarak \( AE \)) adalah \( 12 \) meter.
Insinyur memasang rangka penguat vertikal \( BD \) tepat di tengah panjang sayap, yaitu pada jarak \( 6 \) meter dari pangkal.
Pertanyaan:
A. Berapakah lebar sayap \( BD \) pada jarak \( 6 \) meter tersebut?
B. Berapakah besar sudut lancip \( \angle CAE \) di pangkal sayap?
C. Mengapa sayap kiri dan kanan harus memenuhi syarat kongruen?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan lebar \( BD \)
Lebar sayap berubah secara linear dari \( 4 \) meter menjadi \( 1 \) meter dalam jarak \( 12 \) meter.
Gunakan kesebangunan segitiga:
Penurunan lebar total:
\( 4 - 1 = 3 \)
Penurunan per meter:
\( \frac{3}{12} = 0{,}25 \)
Pada jarak \( 6 \) meter:
\( 0{,}25 \times 6 = 1{,}5 \)
Maka lebar di titik tengah:
\( 4 - 1{,}5 \)
\( = 2{,}5 \)
Jawaban A: \( BD = 2{,}5 \) meter.
B. Menentukan sudut \( \angle CAE \)
Gunakan rumus trigonometri:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
Sisi depan:
\( \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \)
Sisi samping:
\( 12 \)
Maka:
\( \tan(\theta) = \frac{1{,}5}{12} \)
\( \tan(\theta) = 0{,}125 \)
Karena:
\( 0{,}125 \lt 1 \)
Maka sudut lancip dan relatif kecil.
Nilai pendekatan:
\( \theta \approx 7{,}1^\circ \)
Jawaban B: \( \tan(\theta) = 0{,}125 \).
C. Alasan Kongruensi
Jika sayap kiri dan kanan tidak kongruen, maka:
- Gaya angkat tidak seimbang
- Pesawat akan miring
Karena itu kedua sayap harus memenuhi:
\( \text{bentuk dan ukuran yang sama} \)
Sehingga distribusi beban udara simetris.
Kesimpulan:
Lebar tengah sayap \( = 2{,}5 \) meter.
\( \tan(\theta) = 0{,}125 \).
Sayap harus kongruen demi stabilitas penerbangan.
Soal 22.
Sebuah lampu jalan dipasang pada tiang tegak setinggi \( 6 \) meter. Seorang pria dengan tinggi \( 1{,}5 \) meter berjalan menjauhi tiang tersebut.
Sinar lampu mengenai puncak kepala pria dan membentuk bayangan di tanah. Garis dari lampu ke ujung bayangan membentuk segitiga siku-siku besar.
Pada suatu saat, pria tersebut berada pada jarak \( 9 \) meter dari kaki tiang lampu.
Pertanyaan:
A. Berapakah panjang bayangan pria tersebut?
B. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut elevasi dari ujung bayangan ke lampu?
C. Jika pria tersebut berjalan menjauh lagi sejauh \( 3 \) meter, apakah panjang bayangan bertambah secara linear? Buktikan secara singkat.
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan panjang bayangan
Gunakan prinsip kesebangunan segitiga.
Segitiga kecil:
Tinggi \( = 1{,}5 \)
Alas \( = x \) (panjang bayangan)
Segitiga besar:
Tinggi \( = 6 \)
Alas \( = 9 + x \)
Gunakan perbandingan:
\( \frac{1{,}5}{x} = \frac{6}{9 + x} \)
Kalikan silang:
\( 1{,}5(9 + x) = 6x \)
\( 13{,}5 + 1{,}5x = 6x \)
\( 13{,}5 = 4{,}5x \)
\( x = 3 \)
Jawaban A: Panjang bayangan \( = 3 \) meter.
B. Menentukan \( \tan(\theta) \)
Pada segitiga besar:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{6}{9 + 3} \)
\( \tan(\theta) = \frac{6}{12} \)
\( \tan(\theta) = 0{,}5 \)
Karena:
\( 0{,}5 \lt 1 \)
Maka sudut kurang dari \( 45^\circ \).
Jawaban B: \( \tan(\theta) = 0{,}5 \).
C. Analisis pertambahan bayangan
Dari persamaan umum:
\( \frac{1{,}5}{x} = \frac{6}{d + x} \)
Dengan \( d \) jarak pria ke tiang.
Kalikan silang:
\( 1{,}5(d + x) = 6x \)
\( 1{,}5d + 1{,}5x = 6x \)
\( 1{,}5d = 4{,}5x \)
\( x = \frac{1{,}5}{4{,}5} d \)
\( x = \frac{1}{3} d \)
Karena:
\( x \) sebanding langsung dengan \( d \),
Maka pertambahan bayangan bersifat linear.
Kesimpulan:
Panjang bayangan \( = 3 \) meter.
\( \tan(\theta) = 0{,}5 \).
Panjang bayangan bertambah secara linear terhadap jarak pria dari tiang.
Soal 23.
Sebuah perusahaan teknologi memasang panel surya di atap gedung. Panel dimiringkan dengan sudut elevasi \( 30^\circ \) terhadap permukaan atap yang datar.
Panjang panel (sisi miring segitiga) adalah \( 2 \) meter.
Rangka penyangga membentuk segitiga siku-siku \( ABC \), dengan:
\( AC = 2 \) meter (sisi miring)
\( BC \) adalah tiang penyangga vertikal
\( AB \) adalah alas mendatar
Sebuah tiang penguat tambahan \( DE \) dipasang tepat di tengah alas \( AB \).
Pertanyaan:
A. Berapakah tinggi tiang utama \( BC \)?
B. Jika panjang alas \( AB = 1{,}73 \) meter, berapakah tinggi tiang penguat \( DE \)?
C. Buktikan apakah nilai \( AB = 1{,}73 \) meter tersebut sesuai dengan Teorema Pythagoras.
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan tinggi \( BC \)
Gunakan rumus trigonometri:
\( \sin(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} \)
\( \sin(30^\circ) = \frac{BC}{2} \)
Diketahui:
\( \sin(30^\circ) = 0{,}5 \)
Maka:
\( 0{,}5 = \frac{BC}{2} \)
\( BC = 1 \)
Jawaban A: \( BC = 1 \) meter.
B. Menentukan tinggi \( DE \)
Titik tengah alas:
\( \frac{1{,}73}{2} = 0{,}865 \)
Gunakan kesebangunan segitiga:
\( \frac{DE}{BC} = \frac{0{,}865}{1{,}73} \)
\( \frac{0{,}865}{1{,}73} = \frac{1}{2} \)
Maka:
\( DE = \frac{1}{2} \times 1 \)
\( DE = 0{,}5 \)
Jawaban B: \( DE = 0{,}5 \) meter.
C. Pembuktian dengan Teorema Pythagoras
Gunakan rumus:
\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
\( (1{,}73)^2 + 1^2 = 2^2 \)
\( 2{,}99 + 1 = 4 \)
\( 3{,}99 \approx 4 \)
Karena hasilnya mendekati \( 4 \), maka nilai \( 1{,}73 \) meter adalah pendekatan dari:
\( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \)
Kesimpulan:
Tinggi tiang utama \( = 1 \) meter.
Tinggi tiang tengah \( = 0{,}5 \) meter.
Panjang alas \( 1{,}73 \) meter sesuai dengan Teorema Pythagoras.
Soal 24.
Sebuah truk pemadam kebakaran ingin menjangkau jendela lantai 5 sebuah gedung. Tangga dipasang pada landasan setinggi \( 2 \) meter dari tanah.
Jendela lantai 5 berada pada ketinggian \( 14 \) meter dari tanah.
Truk diparkir pada jarak \( 9 \) meter dari dinding gedung.
Di antara truk dan gedung terdapat pagar pembatas setinggi \( 6 \) meter.
Pertanyaan:
A. Berapakah panjang tangga \( AC \) yang harus dijulurkan agar mencapai jendela?
B. Pada jarak berapakah dari truk pagar tersebut tepat bersentuhan dengan garis tangga?
C. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut elevasi tangga tersebut?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan panjang tangga
Tinggi efektif dari landasan ke jendela:
\( 14 - 2 = 12 \)
Jarak horizontal:
\( 9 \)
Gunakan Teorema Pythagoras:
\( AC^2 = 12^2 + 9^2 \)
\( AC^2 = 144 + 81 \)
\( AC^2 = 225 \)
\( AC = 15 \)
Jawaban A: Panjang tangga \( = 15 \) meter.
B. Menentukan posisi pagar
Gunakan kesebangunan segitiga.
Segitiga besar:
Tinggi \( = 12 \)
Alas \( = 9 \)
Pagar memiliki tinggi efektif:
\( 6 - 2 = 4 \)
Gunakan perbandingan:
\( \frac{4}{12} = \frac{AD}{9} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{AD}{9} \)
\( AD = 3 \)
Jawaban B: Pagar berada \( 3 \) meter dari truk.
C. Menentukan \( \tan(\theta) \)
Gunakan rumus:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{12}{9} \)
\( \tan(\theta) = \frac{4}{3} \)
Karena:
\( \frac{4}{3} \gt 1 \)
Maka sudut lebih besar dari \( 45^\circ \).
Kesimpulan:
Panjang tangga \( = 15 \) meter.
Pagar harus berada \( 3 \) meter dari truk.
\( \tan(\theta) = \frac{4}{3} \).
Soal 25.
Sebuah desa membangun sistem irigasi gravitasi dari Mata Air (Titik \( A \)) di puncak bukit menuju Sawah (Titik \( C \)) di kaki bukit.
Profil bukit membentuk segitiga siku-siku.
Tinggi vertikal mata air dari dasar bukit adalah \( 60 \) meter (\( AB \)).
Jarak mendatar dari kaki bukit (\( B \)) ke sawah (\( C \)) adalah \( 80 \) meter (\( BC \)).
Di tengah jalur pipa dipasang Katup Kontrol (Titik \( D \)) yang berjarak mendatar \( 40 \) meter dari kaki bukit.
Pertanyaan:
A. Berapakah panjang total pipa \( AC \)?
B. Berapakah ketinggian Katup Kontrol \( D \) dari dasar bukit?
C. Berapakah nilai \( \tan(\theta) \) sudut kemiringan pipa terhadap garis mendatar?
Jawaban dan Analisis (Klik untuk membuka)
A. Menentukan panjang pipa \( AC \)
Diketahui:
\( AB = 60 \)
\( BC = 80 \)
Gunakan Teorema Pythagoras:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( AC^2 = 60^2 + 80^2 \)
\( AC^2 = 3600 + 6400 \)
\( AC^2 = 10000 \)
\( AC = 100 \)
Jawaban A: Panjang pipa adalah \( 100 \) meter.
B. Menentukan ketinggian Katup Kontrol
Segitiga besar memiliki perbandingan:
\( \frac{AB}{BC} = \frac{60}{80} \)
\( \frac{3}{4} \)
Karena jarak mendatar katup dari kaki bukit adalah \( 40 \) meter, maka:
\( \frac{BD}{BC} = \frac{40}{80} \)
\( \frac{1}{2} \)
Gunakan kesebangunan:
\( \frac{h_D}{60} = \frac{40}{80} \)
\( \frac{h_D}{60} = \frac{1}{2} \)
\( h_D = 30 \)
Jawaban B: Tinggi Katup Kontrol adalah \( 30 \) meter.
C. Menentukan \( \tan(\theta) \)
Rumus:
\( \tan(\theta) = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \)
\( \tan(\theta) = \frac{60}{80} \)
\( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \)
Karena:
\( \frac{3}{4} \lt 1 \)
Maka sudut kemiringan kurang dari \( 45^\circ \).
Kesimpulan:
Panjang pipa \( = 100 \) meter.
Tinggi katup \( = 30 \) meter.
\( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \).