aljabar

1. Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif dan nol sering disebut bilangan bulat non negatif, sedang bilangan bulat negatif dan nol disebut bilangan bulat non positif.

Pada operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada himpunan bilangan bulat bersifat tertutup, sedang pada pembagian tidak.

Jika \( a,b \) bilangan bulat, maka

\( a + (-b) = a - b \)

\( a - (-b) = a + b \).

Jika \( a,b \) bilangan bulat, maka hasil kali dan hasil baginya ditentukan oleh jenis \( a,b \)-nya.

Jika keduanya bilangan bulat positif atau keduanya bilangan bulat negatif, maka hasil kali dan hasil baginya merupakan bilangan bulat positif. Jika tepat salah satunya negatif, maka hasil kali dan bagiannya merupakan bilangan bulat negatif.

1.A. Kelipatan Bilangan

Kelipatan dari suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan tersebut dengan bilangan asli.

Contoh :

Tentukan kelipatan dari \( 4 \)!

Penyelesaian :

\( 1 \times 4 = 4 \)

\( 2 \times 4 = 4 + 4 = 8 \)

\( 3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \)

\( 4 \times 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 \), dan seterusnya.

Jadi, kelipatan dari \( 4 \) adalah \( 4, 8, 12, 16, \ldots \)

1.B. Faktor Bilangan

Faktor dari suatu bilangan adalah semua bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut.

Contoh :

Tentukan faktor dari \( 18 \) dan \( 20 \)!

Penyelesaian :

\( 18 : 1 = 18 \)

\( 18 : 2 = 9 \)

\( 18 : 3 = 6 \)

\( 18 : 6 = 3 \)

\( 18 : 9 = 2 \)

\( 18 : 18 = 1 \)

Jadi, faktor dari \( 18 \) adalah

\( 1, 2, 3, 6, 9, \) dan \( 18 \)

\( 20 : 1 = 20 \)

\( 20 : 2 = 10 \)

\( 20 : 4 = 5 \)

\( 20 : 5 = 4 \)

\( 20 : 10 = 2 \)

\( 20 : 20 = 1 \)

Jadi, faktor dari \( 20 \) adalah

\( 1, 2, 4, 5, 10, \) dan \( 20 \)

1.C. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu \( 1 \) dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan prima, antara lain : \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots \)

Angka \( 1 \) bukan bilangan prima karena \( 1 \) hanya mempunyai \( 1 \) faktor yaitu \( 1 \).

Angka \( 9 \) bukan bilangan prima karena \( 9 \) mempunyai \( 3 \) faktor, yaitu \( 1, 3, \) dan \( 9 \).

1.D. Faktor Prima

Faktor prima adalah faktor-faktor dari suatu bilangan yang merupakan bilangan prima.

Contoh :

Faktor dari \( 20 \) adalah \( 1, 2, 4, 5, 10, \) dan \( 20 \)

Faktor prima dari \( 20 \) adalah \( 2 \) dan \( 5 \).

1.E. Faktorisasi Prima

Faktorisasi prima adalah cara menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Faktorisasi prima dari suatu bilangan dapat ditentukan menggunakan pohon faktor.

Contoh :

Tentukan faktorisasi prima dari \( 24 \)!

Penyelesaian :

Faktorisasi prima dari \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)

\( = 2^3 \times 3 \)

1.F. Kelipatan Persekutuan

Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama (bersekutu) dari dua bilangan atau lebih. Kelipatan persekutuan dapat ditentukan dengan cara menuliskan kelipatan setiap bilangan, lalu melingkari kelipatan bilangan yang sama (bersekutu).

Contoh :

Tentukan kelipatan persekutuan dari \( 4 \) dan \( 6 \)!

Penyelesaian :

Kelipatan \( 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, \ldots \)

Kelipatan \( 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, \ldots \)

Jadi, kelipatan persekutuan dari \( 4 \) dan \( 6 \) adalah \( 12, 24, 36, \ldots \)

1.G. Faktor Persekutuan

Faktor persekutuan adalah faktor yang sama (bersekutu) dari dua bilangan atau lebih.

Contoh :

Tentukan faktor persekutuan dari \( 18 \) dan \( 24 \)!

Penyelesaian :

Faktor \( 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 \)

Faktor \( 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)

Jadi, faktor persekutuan dari \( 18 \) dan \( 24 \) adalah \( 1, 2, 3, \) dan \( 6 \).

H. KPK dan FPB dari Dua Bilangan

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) adalah kelipatan persekutuan dari dua bilangan yang nilainya paling kecil di antara kelipatan persekutuan lainnya.

Faktor persekutuan terbesar adalah faktor persekutuan dari dua bilangan yang nilainya paling besar di antara faktor persekutuan lainnya.

Cara menentukan KPK dan FPB dapat dilakukan dengan pohon faktor atau teknik sengkedan.

Contoh :

Tentukan KPK dan FPB dari \( 30 \) dan \( 42 \)!

Penyelesaian :

a. Menggunakan pohon faktor

\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

FPB \( = 2 \times 3 \)

KPK \( = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)

b. Menggunakan teknik sengkedan

Catatan :

Lingkarilah bilangan prima yang membagi habis kedua bilangan.

FPB \( = 2 \times 3 = 6 \)

KPK \( = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 \)

1.I. Pemecahan Masalah yang Berkaitan dengan KPK

Permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan KPK biasanya berisi tentang kejadian yang dilakukan bersamaan dan terjadi berulang kali.

Contoh :

Ayah membeli pakan ayam setiap \( 45 \) hari sekali dan pakan ikan setiap \( 60 \) hari sekali. Pada tanggal \( 1 \) Juni, ayah membeli pakan ayam dan ikan secara bersamaan. Pada tanggal berapakah ayah akan membeli pakan ayam dan ikan secara bersamaan lagi?

Penyelesaian :

\( 45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5 \)

\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

KPK \( = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180 \)

Jadi, ayah akan membeli pakan ayam dan ikan secara bersamaan lagi setelah \( 180 \) hari, yaitu pada tanggal \( 28 \) November.

1.J. Pemecahan Masalah yang Berkaitan dengan FPB

Permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan FPB biasanya berisi tentang pengelompokan beberapa jenis benda dengan jumlah yang sama di setiap kelompok.

Contoh :

Ibu memiliki \( 24 \) kue coklat dan \( 36 \) kue keju. Ibu akan membagikan kedua jenis kue tersebut kepada beberapa anak sama banyak. Berapa jumlah anak paling banyak yang mendapatkan kue dari ibu?

Penyelesaian :

\( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)

\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)

FPB \( = 2^2 \times 3 = 12 \)

Jadi, ibu dapat membagikan kedua jenis kue dengan masing-masing anak mendapat jumlah yang sama tiap jenisnya, paling banyak kepada \( 12 \) anak.

2. Pecahan

Pecahan merupakan bilangan rasional. Jika \( a \) adalah pecahan maka \( a \) dapat dinyatakan dalam bentuk \( \frac{c}{d} \) dengan \( c,d \) bilangan bulat, \( d \ne 0 \) dan \( d \) bukan faktor dari \( c \).

Jika \( a,b,c \) dan \( d \) bilangan bulat, \( b \ne 0, d \ne 0 \), maka

1) \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \)

2) \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)

3) \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\; c \ne 0 \)

3. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Jika \( a \) bilangan real dan \( n \) bilangan bulat positif, didefinisikan

\( a^{n} = a \times a \times a \times \ldots \times a \) (a sebanyak \( n \))

Jika \( a,b \) bilangan real positif dan \( m,n \) bilangan real, maka

a) \( a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \)

b) \( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \;\; (a \ne 0) \)

c) \( (a^{m})^{n} = a^{mn} \)

d) \( (a \times b)^{m} = a^{m} \times b^{m} \)

e) \( \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} \;\; (b \ne 0) \)

Untuk bilangan real \( a \), \( a \ne 0 \) dan \( n \) bilangan bulat positif maka

\( a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \) dan

\( a^{0} = 1 \)

Misalkan \( a \ge 0 \) dan \( n \) adalah bilangan Asli genap. Maka akar pangkat \( n \) dari \( a \) adalah bilangan tidak negatif \( b \) sehingga \( b^{n} = a \), ditulis \( \sqrt[n]{a} = b \)

Untuk \( n = 2 \), \( \sqrt[n]{a} \) hanya ditulis dengan \( \sqrt{a} \).

Keterkaitan antara pangkat bilangan real berpangkat rasional dengan bentuk akar adalah sebagai berikut. Untuk \( a \ge 0 \) atau \( a \lt 0 \) dan \( m \) adalah bilangan genap atau \( a \lt 0 \) dan \( n \) adalah bilangan ganjil, maka

1) \( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

2) \( \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \)

Beberapa operasi pada bentuk akar

Jika \( a,b,c, \) dan \( d \) bilangan real, serta \( a,b \) non negatif maka

1) \( c\sqrt{a} + d\sqrt{a} = (c+d)\sqrt{a} \)

2) \( c\sqrt{a} \times d\sqrt{b} = cd\sqrt{ab} \)

Untuk merasionalkan penyebut bentuk akar, dilakukan dengan mengalikan sekawannya.

1) \( \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} \;\; (b \ne 0) \)

2) \( \frac{a}{c-\sqrt{b}} = \frac{a}{c-\sqrt{b}} \times \frac{c+\sqrt{b}}{c+\sqrt{b}} \;\; ((c-\sqrt{b}) \ne 0) \)

Contoh Soal

1) Hasil dari \( 3^{-2} + 2^{-3} \) adalah ....

2) Hasil dari \( \left(81^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}} \) adalah ....

3) Bentuk \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) jika penyebutnya dirasionalkan menjadi ....

4) Hasil dari \( 2\sqrt{8} \times \sqrt{3} \) adalah ....

4. Perbandingan

1) Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan dua besaran, \( A \) dan \( B \), merupakan perbandingan senilai bila meningkatnya nilai \( A \) diikuti meningkatnya nilai \( B \). Jika meningkatnya nilai \( A \) berakibat menurunnya nilai \( B \), maka perbandingan \( A \) dengan \( B \) merupakan perbandingan berbalik nilai.

Perbandingan banyak buku dengan harganya merupakan contoh perbandingan senilai, sedang perbandingan antara banyak pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan adalah contoh perbandingan berbalik nilai.

2) Skala

Skala merupakan perbandingan antara jarak pada gambar dengan jarak sebenarnya

\( \text{Skala} = \frac{\text{Jarak pada gambar}}{\text{Jarak Sebenarnya}} \)

Contoh

1) Perbandingan kelereng Akmal, Fajar dan Dava adalah \( 3:5:7 \). Jika jumlah kelereng Fajar dan Dava adalah \( 48 \). Banyak kelereng Akmal adalah ....

2) Pekerjaan membuat kolam ikan dapat diselesaikan oleh Andi dalam waktu \( 20 \) hari, sementara Soni dapat menyelesaikannya dalam \( 30 \) hari. Jika mereka bekerja bersama, waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah ....

5. Aritmetika Sosial

Jika \( U, R, J, \) dan \( B \) berturut-turut menyatakan untung, rugi, harga jual dan harga beli, maka

1) \( U = J - B \)

2) \( R = B - J \)

3) \( \%U = \frac{U}{B} \times 100\% \)

4) \( \%R = \frac{R}{B} \times 100\% \)

5) \( B = \frac{100}{\%J} \times J \)

6) \( B = \frac{100}{\%U} \times U \)

7) \( B = \frac{100}{\%R} \times R \)

Misal, \( M \) adalah modal awal, dan \( P\% \) menyatakan bunga pertahun, maka

1) Bunga \( 1 \) tahun \( = \frac{P}{100} \times M \)

2) Bunga \( b \) bulan \( = \frac{b}{12} \times \frac{P}{100} \times M \)

3) Bunga \( 1 \) hari \( = \frac{h}{365} \times \frac{P}{100} \times M \)

Contoh

1. Aldi menabung di bank sebesar Rp\( 800.000,00 \) dengan suku bunga tungga \( 15\% \) setahun. Saat diambil, tabungan Aldi menjadi Rp\( 900.000,00 \). Lama Aldi menabung adalah ....

2. Setelah \( 9 \) bulan uang tabungan Susi di koperasi berjumlah Rp\( 3.815.000,00 \). Koperasi memberi jasa simpanan berupa bunga \( 12\% \) pertahun. Tabungan awal Susi di koperasi adalah ....

6. Barisan dan Deret

1) Barisan

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola

\( a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots , a+(n-1)b, \ldots \)

dengan \( a \) adalah suku pertama, dan \( b \) adalah beda atau selisih dari dua suku berurutannya.

Jadi suku ke-\( n \) (\( U_n \)) dari barisan aritmetika adalah

\( U_n = a + (n-1)b \)

Barisan geometri merupakan barisan bilangan dengan pola

\( a, ar, ar^2, ar^3, \ldots , ar^{n-1}, \ldots \)

dengan \( a \) adalah suku pertama, dan \( r \) adalah rasio dari dua suku berurutannya.

Jadi suku ke-\( n \) (\( U_n \)) dari barisan geometri adalah

\( U_n = ar^{\,n-1} \)

2) Deret

Deret aritmetika merupakan deret bilangan dengan pola

\( a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + \ldots + (a+(n-1)b) + \ldots \)

Jumlah \( n \) suku pertama (\( S_n \)) dari deret aritmetika adalah

\( S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \) atau \( S_n = \frac{n}{2}(a+U_n) \)

Deret geometri merupakan deret bilangan dengan pola

\( a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n-1} + \ldots \)

Jumlah \( n \) suku pertama (\( S_n \)) dari deret geometri adalah

\( S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \) untuk \( r \lt 1 \), atau

\( S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) untuk \( r \gt 1 \)

Contoh

1) Suku ke \( 50 \) dari barisan \( 7,15,23,31,39,\ldots \) adalah ....

2) Seutas tali dipotong menjadi \( 5 \) bagian, sehingga panjang potongan-potongan membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek \( 6 \) cm dan potongan terpanjang \( 96 \) cm, panjang tali mula-mula adalah ....

3) Dari barisan aritmetika diketahui \( U_3 = 18 \) dan \( U_7 = 38 \). Jumlah \( 24 \) suku pertamanya adalah ....

7. Bentuk Aljabar

Pengkuadratan bentuk aljabar suku dua

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

1. \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

2. \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

3. \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \)

4. \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) \)

5. \( (a+b)^4 = (a+b)(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \)

6. \( (a-b)^4 = (a-b)(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4 \)

7. \( (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \)

a. \( x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \)

b. \( x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy \)

c. \( x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) \)

a. \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2) \)

b. \( x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + 2xy + y^2) \)

c. \( x^3 + y^3 = (x^2 + y^2)(x+y) - xy(x+y) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) \)

d. \( x^3 - y^3 = (x^2 + y^2)(x-y) - xy(x-y) = (x-y)^3 + 3xy(x-y) \)

\( x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 - \ldots + y^{n-1}) \rightarrow n \in \text{ ganjil} \)

\( x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 + \ldots + y^{n-1}) \rightarrow n \in \mathbb{N} \)

Pemfaktoran bentuk kuadrat

1) Pemfaktoran selisih dua kuadrat

\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)

2) Pemfaktoran bentuk \( ax^2 + bx + c \), dengan \( a = 1 \)

\( x^2 + bx + c = (x+p)(x+q) \) dengan \( pq = c,\; p+q = b \)

3) Pemfaktoran bentuk \( ax^2 + bx + c \), dengan \( a \ne 1 \)

\( ax^2 + bx + c = a\left(x+\frac{p}{a}\right)\left(x+\frac{q}{a}\right) \) dengan \( pq = ac,\; p+q = b \)

Contoh

1) Salah satu faktor dari \( 4x^2 - 5x - 6 \) adalah ....

2) Perhatikan pemfaktoran berikut ini

(i) \( 15x^2y - 20xy^2 = 5xy(3x - 4y) \)

(ii) \( p^2 - 16 = (p-4)(p-4) \)

(iii) \( 3a^2 + 8a - 3 = (3a-1)(a+3) \)

Pemfaktoran yang benar adalah ....

9. Relasi dan Fungsi

Jika \( A, B \) adalah himpunan, relasi dari \( A \) ke \( B \) adalah aturan yang menghubungkan anggota \( A \) dengan anggota \( B \). Fungsi dari \( A \) ke \( B \) adalah relasi yang memasangkan setiap anggota \( A \) dengan tepat satu anggota \( B \).

Relasi atau fungsi dua himpunan dapat dinyatakan dalam diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan grafik. Himpunan pasangan berurutan menyatakan fungsi dari dua himpunan bila unsur pertamanya tak ada yang berulang.

Jika \( f \) merupakan fungsi dari himpunan \( P \) ke himpunan \( Q \), maka \( P \) disebut Domain dan \( Q \) disebut Kodomain, sedang Range adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota \( Q \) yang mempunyai pasangan di \( P \). Jika \( n(P)=a \) dan \( n(Q)=b \), maka banyak \( f \) yang mungkin adalah \( b^a \).

Bentuk umum fungsi linear adalah \( f(x)=ax+b \), \( a \ne 0 \). Grafik fungsi linear \( f(x)=ax+b \) dengan domain himpunan bilangan real adalah garis lurus, yang memotong sumbu \( x \) dan sumbu \( y \) berturut-turut di titik \( \left(-\frac{b}{a},0\right) \) dan \( (0,b) \).

Contoh

1) Perhatikan himpunan pasangan berurutan berikut!

i. \( \{(1,3),(2,3),(3,3)\} \)

ii. \( \{(1,2),(1,3),(1,4)\} \)

iii. \( \{(3,3),(3,3),(3,3)\} \)

iv. \( \{(3,5),(2,4),(1,3)\} \)

Himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah ....

2) Diketahui rumus fungsi \( f \) adalah \( f(x)=8-2x \). Jika \( f(k)=-10 \), nilai \( k \) adalah ....

3) Diketahui \( A=\{2,3,5,7\} \) dan \( B=\{1,2,3\} \). Banyak pemetaan yang mungkin dibuat dari \( A \) ke \( B \) adalah ....

4) Fungsi \( h \) dinyatakan dalam rumus \( h(x)=ax+b \). Jika \( h(-1)=-5,h(4)=5 \), maka \( h(-6) \) adalah ....

10. Persamaan Garis Lurus

1) Gradien

Gradien suatu garis menunjukkan kemiringan garis tersebut. Garis yang horizontal gradiennya sama dengan nol, sedang garis yang vertikal tidak mempunyai gradien (gradiennya tak terdefinisikan).

Gradien suatu garis merupakan perbandingan antara selisih ordinat dengan selisih absis dari dua titik yang terletak pada garis tersebut. Konsekuensinya, garis yang condong ke kanan bergradien positif, sedang yang condong ke kiri bergradien negatif.

Gradien garis yang melalui dua titik \( (x_1,y_1) \) dan \( (x_2,y_2) \) adalah

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

2) Persamaan Garis

Bentuk umum persamaan garis adalah \( ax + by + c = 0 \).

Gradien garis dengan persamaan tersebut adalah \( -\frac{b}{a} \) dan memotong sumbu \( x \) dan sumbu \( y \) berturut-turut di titik \( \left(-\frac{c}{a},0\right) \) dan \( \left(0,-\frac{c}{b}\right) \). Jika \( c=0 \), maka garis tersebut melalui pusat koordinat \( (0,0) \), dan persamaannya berubah menjadi \( y = \frac{-a}{b}x \).

Bentuk lain dari persamaan garis adalah \( y = mx + c \). Jika dinyatakan dengan persamaan ini, maka \( m \) merupakan gradien garis tersebut dan memotong sumbu \( y \) di \( (0,c) \).

Persamaan garis yang bergradien \( m \) dan melalui titik \( (x_1,y_1) \) adalah

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Persamaan garis yang melalui dua titik \( (x_1,y_1) \) dan \( (x_2,y_2) \) adalah

\( \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)

Bila dua titik tersebut merupakan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinatnya, \( (a,0) \) dan \( (0,b) \) maka persamaan garisnya adalah

\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

Dua garis yang sejajar, gradiennya sama, sedang dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennya (dengan catatan kedua gradiennya ada) sama dengan \( -1 \).

Contoh

1) Gradien garis dengan persamaan \( 3x - 6y = -5 \) adalah ....

2) Titik \( A(10,p) \) terletak pada garis yang melalui titik \( B(3,1) \) dan \( C(-4,-13) \). Nilai \( p \) adalah ....

11. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah

\( a_1x + b_1y = c_1 \)

\( a_2x + b_2y = c_2 \)

dengan \( a_1,a_2,b_1,b_2 \) tidak sama dengan nol.

SPLDV dapat diselesaikan dengan metode eliminasi, substitusi, dan grafik. Jika \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) maka SPLDV mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Jika \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2} \) maka SPLDV tidak punya penyelesaian. Jika \( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \) maka SPLDV mempunyai penyelesaian tunggal.

Contoh

1) Penyelesaian dari \( \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}y = 1 \) dan \( \frac{1}{2}x + \frac{5}{3}y = -7 \) adalah \( x=p \) dan \( y=q \). Nilai dari \( p-4q \) adalah ....

2) Adi, Budi dan Citra bersama-sama membeli buku tulis dan pensil yang sejenis. Adi membeli \( 4 \) buku tulis dan \( 1 \) pensil seharga Rp\( 14.000,00 \). Budi membeli \( 6 \) buku tulis dan \( 2 \) pensil seharga Rp\( 22.000,00 \). Jika Citra membeli \( 6 \) buku tulis dan \( 1 \) pensil, besar uang yang harus dibayar adalah ....

3) Harga satu topi sama dengan \( 3 \) kali harga satu dasi. Fitra membeli \( 5 \) topi dan \( 10 \) dasi seharga Rp\( 125.000,00 \). Jika Salmiah membeli \( 15 \) topi dan \( 20 \) dasi, jumlah harga barang yang dibeli Salmiah adalah ....

D. Latihan Soal

1. Hasil dari \( (-12) : 3 + 8 \times (-5) \) adalah ....

2. Beni menjumlahkan nomor-nomor halaman buku yang terdiri dari \( 96 \) halaman adalah \( 4.574 \). Ternyata terjadi kekeliruan, ada \( 1 \) halaman yang dihitung \( 2 \) kali. Halaman berapakah itu?

3. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh \( 15 \) pekerja dalam waktu \( 12 \) minggu. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam \( 9 \) minggu, banyak pekerja yang harus ditambah adalah ....

4. Hasil dari \( 2^{-3} \times 2^{-2} \) = . . . .

5. Hasil dari \( \sqrt{32} - \sqrt{2} + \sqrt{128} \) adalah....

6. Rudi menabung pada sebuah bank sebesar Rp \( 800.000,00 \) dengan bunga \( 25\% \) setahun. Jika tabungannya sekarang Rp \( 950.000,00 \), maka lama ia menabung adalah ... .

7. Ali menjual sepeda harga Rp\( 500.000,00 \) dan ia mendapat untung \( 25\% \) dari harga pembeliannya. Harga pembelian sepeda tersebut adalah ....

8. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan \( 20,17,13,8,\ldots \) adalah ....

9. Rumus suku ke-\( n \) dari barisan \( 243,81,27,9,\ldots \) adalah ....

10. Bentuk sederhana dari \( 2x^2 - x - 6 + 5x^2 - 5x + 10 \) adalah ....

11. Persamaan garis yang melalui titik \( (-4,4) \) dan sejajar garis \( y = -\frac{1}{2}x + 8 \) adalah ....

12. Diketahui \( \frac{3}{4}x + \frac{1}{6}y = 4 \) dan \( \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = -2 \)

13. Perhatikan pemfaktoran berikut.

(1) \( 2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5) \)

(2) \( 2x^2 - 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) \)

(3) \( 4x^2 + 4x - 3 = (2x - 1)(2x + 3) \)

(4) \( 6x^2 + 7x - 3 = (2x + 3)(3x - 1) \)

Pemfaktoran di atas, yang benar adalah ....

14. Suatu fungsi \( f(x) = px + q \) diketahui \( f(1) = 5 \) dan \( f(3) = -1 \). Nilai \( f(-1) \) adalah ....

15. Diketahui rumus fungsi \( f \) adalah \( f(x) = 4x - 2 \). Jika \( f(a) = 26 \), nilai \( a \) adalah....

16. Diketahui rumus fungsi \( f(x) = 5x - 3 \). Hasil dari \( f(3x + 2) \) adalah....