Penjelasan dasar:

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang memuat: \( \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \)

Jadi, bilangan bulat mencakup:

1. Bilangan bulat non negatif

Bilangan bulat non negatif artinya semua bilangan bulat yang nilainya \( \ge 0 \), yaitu: \( 0,1,2,3,\ldots \)

2. Bilangan bulat non positif

Bilangan bulat non positif artinya semua bilangan bulat yang nilainya \( \lt 0 \) atau sama dengan \( 0 \), yaitu: \( \ldots,-3,-2,-1,0 \)

3. Sifat tertutup pada operasi bilangan bulat

Suatu operasi dikatakan tertutup pada himpunan bilangan bulat jika hasil operasinya tetap bilangan bulat.

Karena itu, penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bilangan bulat bersifat tertutup, sedangkan pembagian tidak selalu tertutup.

4. Rumus penting yang harus dipahami

Jika \( a \) dan \( b \) bilangan bulat, maka:

\( a + (-b) = a - b \)

Artinya, menjumlahkan bilangan negatif sama dengan mengurangkan bilangan positifnya.

Contoh: \( 8 + (-3) = 8 - 3 = 5 \)

Rumus berikutnya:

\( a - (-b) = a + b \)

Artinya, mengurangkan bilangan negatif sama dengan menambahkan lawannya yang positif.

Contoh: \( 6 - (-4) = 6 + 4 = 10 \)

5. Aturan tanda pada perkalian dan pembagian

Untuk operasi kali dan bagi, tanda hasil ditentukan oleh tanda kedua bilangan.

Aturan yang sama berlaku untuk pembagian:

Contoh perkalian:

\( 4 \times 3 = 12 \)

\( (-4) \times (-3) = 12 \)

\( 4 \times (-3) = -12 \)

\( (-4) \times 3 = -12 \)

Contoh pembagian:

\( 12 \div 3 = 4 \)

\( (-12) \div (-3) = 4 \)

\( 12 \div (-3) = -4 \)

\( (-12) \div 3 = -4 \)

6. Ringkasan cepat

Kelipatan bilangan diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan bilangan asli, yaitu \( 1, 2, 3, 4, \ldots \)

Jadi, jika yang dicari adalah kelipatan dari \( 4 \), maka kita hitung:

\( 4 \times 1 = 4 \)

\( 4 \times 2 = 8 \)

\( 4 \times 3 = 12 \)

\( 4 \times 4 = 16 \)

\( 4 \times 5 = 20 \)

dan seterusnya.

Maka kelipatan dari \( 4 \) adalah \( 4, 8, 12, 16, 20, \ldots \)

Intinya, kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan \( 1, 2, 3, 4, \ldots \)

Faktor bilangan adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis suatu bilangan.

Artinya, jika \( a \) adalah faktor dari \( b \), maka hasil pembagian \( b : a \) harus berupa bilangan bulat tanpa sisa.

Untuk mencari faktor dari \( 18 \), kita periksa bilangan yang membagi habis \( 18 \):

\( 18 : 1 = 18 \)

\( 18 : 2 = 9 \)

\( 18 : 3 = 6 \)

\( 18 : 4 \) tidak habis

\( 18 : 5 \) tidak habis

\( 18 : 6 = 3 \)

Maka faktor dari \( 18 \) adalah \( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \)

Sekarang untuk \( 20 \):

\( 20 : 1 = 20 \)

\( 20 : 2 = 10 \)

\( 20 : 3 \) tidak habis

\( 20 : 4 = 5 \)

\( 20 : 5 = 4 \)

\( 20 : 10 = 2 \)

\( 20 : 20 = 1 \)

Maka faktor dari \( 20 \) adalah \( 1, 2, 4, 5, 10, 20 \)

Jadi, faktor adalah semua pembagi habis dari suatu bilangan.

Bilangan prima adalah bilangan yang memiliki tepat dua faktor.

Dua faktor itu harus:

\( 1 \) dan bilangan itu sendiri.

Contoh:

Bilangan \( 2 \) mempunyai faktor \( 1 \) dan \( 2 \)

Bilangan \( 3 \) mempunyai faktor \( 1 \) dan \( 3 \)

Bilangan \( 5 \) mempunyai faktor \( 1 \) dan \( 5 \)

Jadi \( 2, 3, 5 \) adalah bilangan prima.

Mengapa \( 1 \) bukan bilangan prima?

Karena \( 1 \) hanya punya satu faktor, yaitu \( 1 \).

Padahal syarat bilangan prima harus mempunyai tepat dua faktor.

Mengapa \( 9 \) bukan bilangan prima?

Karena \( 9 \) mempunyai faktor \( 1, 3, 9 \)

Jadi jumlah faktornya ada \( 3 \), bukan \( 2 \).

Maka \( 9 \) bukan bilangan prima.

Faktor prima adalah faktor suatu bilangan yang termasuk bilangan prima.

Jadi caranya:

pertama cari semua faktor bilangan itu, lalu pilih yang prima saja.

Untuk \( 20 \), faktor-faktornya adalah:

\( 1, 2, 4, 5, 10, 20 \)

Sekarang kita cek mana yang prima:

\( 1 \) bukan prima

\( 2 \) prima

\( 4 \) bukan prima

\( 5 \) prima

\( 10 \) bukan prima

\( 20 \) bukan prima

Maka faktor prima dari \( 20 \) adalah \( 2 \) dan \( 5 \).

Faktorisasi prima berarti menulis suatu bilangan sebagai hasil perkalian bilangan-bilangan prima.

Untuk \( 24 \), kita pecah bertahap menjadi faktor-faktor prima.

\( 24 = 2 \times 12 \)

\( 12 = 2 \times 6 \)

\( 6 = 2 \times 3 \)

Maka

\( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)

Karena ada tiga buah \( 2 \), bentuk pangkatnya dapat ditulis:

\( 24 = 2^3 \times 3 \)

Jadi, faktorisasi prima dari \( 24 \) adalah \( 2^3 \times 3 \).

Ini sangat penting karena akan dipakai pada materi FPB, KPK, bentuk akar, dan operasi aljabar di tingkat berikutnya.

Kelipatan persekutuan artinya kelipatan yang muncul pada kedua bilangan.

Jadi langkahnya:

1) tulis beberapa kelipatan dari bilangan pertama,

2) tulis beberapa kelipatan dari bilangan kedua,

3) pilih angka yang sama.

Untuk \( 4 \):

\( 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, \ldots \)

Untuk \( 6 \):

\( 6, 12, 18, 24, 30, 36, \ldots \)

Angka yang sama pada kedua daftar adalah:

\( 12, 24, 36, \ldots \)

Jadi, kelipatan persekutuan dari \( 4 \) dan \( 6 \) adalah \( 12, 24, 36, \ldots \)

Intinya, kelipatan persekutuan adalah angka-angka yang muncul bersamaan pada daftar kelipatan kedua bilangan.

Faktor persekutuan artinya faktor yang sama-sama dimiliki oleh dua bilangan.

Jadi caranya:

1) cari semua faktor dari bilangan pertama,

2) cari semua faktor dari bilangan kedua,

3) pilih yang sama.

Faktor dari \( 18 \):

\( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \)

Faktor dari \( 24 \):

\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)

Yang sama pada kedua daftar adalah:

\( 1, 2, 3, 6 \)

Jadi, faktor persekutuan dari \( 18 \) dan \( 24 \) adalah \( 1, 2, 3, 6 \).

Perhatikan bahwa faktor persekutuan berbeda dari kelipatan persekutuan.

Faktor berhubungan dengan membagi habis, sedangkan kelipatan berhubungan dengan hasil perkalian.

KPK adalah kelipatan persekutuan yang paling kecil.

FPB adalah faktor persekutuan yang paling besar.

Untuk \( 30 \) dan \( 42 \), kita uraikan dulu ke bentuk faktor prima.

\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

Mencari FPB:

Ambil faktor prima yang sama pada kedua bilangan.

Faktor yang sama adalah \( 2 \) dan \( 3 \).

Maka:

FPB \( = 2 \times 3 = 6 \)

Mencari KPK:

Ambil semua faktor prima yang muncul pada kedua bilangan.

Jadi:

KPK \( = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)

\( = 210 \)

Jadi hasil akhirnya adalah:

FPB \( = 6 \)

KPK \( = 210 \)

Cara ini sangat penting karena nanti dipakai pada pecahan, perbandingan, dan beberapa soal operasi aljabar.

Soal seperti ini adalah soal KPK karena membahas dua kejadian yang berulang dan ditanyakan kapan keduanya terjadi bersamaan lagi.

Jadi langkah pertama adalah mencari KPK dari \( 45 \) dan \( 60 \).

Uraikan ke faktor prima:

\( 45 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5 \)

\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Untuk mencari KPK, ambil semua faktor prima yang ada dengan pangkat terbesar.

Faktor-faktor yang dipakai:

\( 2^2 \), \( 3^2 \), dan \( 5 \)

Maka:

KPK \( = 2^2 \times 3^2 \times 5 \)

\( = 4 \times 9 \times 5 \)

\( = 180 \)

Artinya, kedua kegiatan itu akan bersamaan lagi setiap \( 180 \) hari sekali.

Karena pada tanggal \( 1 \) Juni keduanya dilakukan bersamaan, maka \( 180 \) hari sesudahnya jatuh pada tanggal \( 28 \) November.

Jadi, ayah akan membeli pakan ayam dan ikan secara bersamaan lagi pada tanggal \( 28 \) November.

Inti soal KPK dalam kehidupan sehari-hari adalah:

jika ada dua kegiatan berulang dan ditanyakan kapan bertemu lagi, maka biasanya gunakan KPK.

Soal seperti ini adalah soal FPB karena membahas pembagian beberapa jenis benda ke dalam kelompok yang sama banyak, dan ditanyakan jumlah kelompok atau jumlah penerima paling banyak.

Jadi langkah pertama adalah mencari FPB dari \( 24 \) dan \( 36 \).

Uraikan ke faktor prima:

\( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)

\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)

Untuk mencari FPB, ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil.

Faktor yang sama adalah:

\( 2^2 \) dan \( 3 \)

Maka:

FPB \( = 2^2 \times 3 \)

\( = 4 \times 3 \)

\( = 12 \)

Artinya, jumlah anak paling banyak yang bisa menerima pembagian sama banyak adalah \( 12 \) anak.

Jika ingin dicek:

\( 24 : 12 = 2 \)

\( 36 : 12 = 3 \)

Jadi setiap anak akan mendapat:

\( 2 \) kue coklat dan \( 3 \) kue keju.

Maka, jumlah anak paling banyak yang mendapatkan kue dari ibu adalah \( 12 \) anak.

Inti soal FPB dalam kehidupan sehari-hari adalah:

jika beberapa benda ingin dibagi sama banyak ke kelompok sebanyak mungkin, maka biasanya gunakan FPB.

Penjelasan dasar pecahan

Pecahan adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk \( \frac{c}{d} \) dengan:

Syarat utama pecahan adalah penyebut tidak boleh nol.

\( d \ne 0 \)

Karena jika penyebut nol maka pembagian tidak terdefinisi.

1. Penjumlahan pecahan

Rumus umum:

\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \)

Contoh:

\( \frac{2}{3} + \frac{5}{4} \)

Samakan penyebut dengan menggunakan rumus.

\( = \frac{(2 \times 4) + (5 \times 3)}{3 \times 4} \)

\( = \frac{8 + 15}{12} \)

\( = \frac{23}{12} \)

2. Perkalian pecahan

Rumus:

\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)

Contoh:

\( \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} \)

\( = \frac{3 \times 4}{5 \times 7} \)

\( = \frac{12}{35} \)

3. Pembagian pecahan

Jika pecahan dibagi pecahan, maka pecahan kedua dibalik.

Rumus:

\( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)

\( = \frac{ad}{bc} \)

Contoh:

\( \frac{4}{5} : \frac{2}{3} \)

\( = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} \)

\( = \frac{12}{10} \)

\( = \frac{6}{5} \)

4. Sifat penting pecahan

5. Hubungan dengan materi SMA

Materi pecahan menjadi dasar penting untuk banyak topik matematika seperti:

• Aljabar
• Eksponen
• Logaritma
• Limit
• Turunan
• Pertidaksamaan

Karena hampir semua operasi aljabar melibatkan bentuk \( \frac{a}{b} \).

Jika siswa sudah benar-benar paham tiga rumus utama pecahan:

\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \)

\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \)

\( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} \)

Penjelasan dasar:

Materi ini terdiri dari tiga bagian besar, yaitu:

Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, yang paling penting adalah memahami bahwa:

\( a^{n} \) artinya \( a \) dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak \( n \) kali.

Contoh:

\( 2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)

1. Aturan-aturan bilangan berpangkat

Jika basisnya sama, maka:

\( a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \)

Contoh:

\( 2^{3} \times 2^{4} = 2^{3+4} = 2^{7} = 128 \)

Untuk pembagian:

\( \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \)

Contoh:

\( \frac{3^{5}}{3^{2}} = 3^{5-2} = 3^{3} = 27 \)

Untuk pangkat dari pangkat:

\( (a^{m})^{n} = a^{mn} \)

Contoh:

\( (2^{3})^{4} = 2^{12} \)

Untuk hasil kali yang dipangkatkan:

\( (a \times b)^{m} = a^{m} \times b^{m} \)

Contoh:

\( (2 \times 3)^{2} = 2^{2} \times 3^{2} = 4 \times 9 = 36 \)

Untuk pecahan yang dipangkatkan:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} \)

2. Pangkat nol dan pangkat negatif

Rumus penting:

\( a^{0} = 1 \)

selama \( a \ne 0 \).

Contoh:

\( 5^{0} = 1 \)

Pangkat negatif berarti kebalikan:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \)

Contoh:

\( 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} \)

3. Bentuk akar

Akar adalah kebalikan dari pangkat.

Jika \( b^{n} = a \), maka \( \sqrt[n]{a} = b \).

Contoh:

Karena \( 3^{2} = 9 \), maka \( \sqrt{9} = 3 \)

Karena \( 2^{3} = 8 \), maka \( \sqrt[3]{8} = 2 \)

Hubungan bentuk akar dengan pangkat pecahan:

\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \)

dan

\( \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} \)

Contoh:

\( \sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}} \)

4. Operasi bentuk akar

Bentuk akar sejenis dapat dijumlahkan.

\( c\sqrt{a} + d\sqrt{a} = (c+d)\sqrt{a} \)

Contoh:

\( 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)

Untuk perkalian akar:

\( c\sqrt{a} \times d\sqrt{b} = cd\sqrt{ab} \)

Contoh:

\( 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{6} \)

5. Rasionalisasi penyebut

Tujuannya adalah menghilangkan akar di penyebut.

Contoh pertama:

\( \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \)

Contoh kedua, jika penyebut berbentuk sekawan:

\( \frac{a}{c-\sqrt{b}} = \frac{a}{c-\sqrt{b}} \times \frac{c+\sqrt{b}}{c+\sqrt{b}} \)

karena

\( (c-\sqrt{b})(c+\sqrt{b}) = c^{2} - b \)

Jawaban soal latihan

1) Hasil dari \( 3^{-2} + 2^{-3} \)

Gunakan rumus pangkat negatif:

\( 3^{-2} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \)

\( 2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} \)

Maka:

\( 3^{-2} + 2^{-3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{8} \)

\( = \frac{8}{72} + \frac{9}{72} = \frac{17}{72} \)

Jadi, hasilnya adalah \( \frac{17}{72} \).

2) Hasil dari \( \left(81^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}} \)

Langkah pertama:

\( 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 \)

Maka:

\( \left(81^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}} = 9^{\frac{3}{2}} \)

Ubah lagi:

\( 9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^{3} = 3^{3} = 27 \)

Jadi, hasilnya adalah \( 27 \).

3) Bentuk \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) jika penyebutnya dirasionalkan

Kalikan pembilang dan penyebut dengan \( \sqrt{3} \):

\( \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)

\( = \frac{2\sqrt{3}}{3} \)

Jadi, bentuk hasil rasionalisasinya adalah \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

4) Hasil dari \( 2\sqrt{8} \times \sqrt{3} \)

Gabungkan bentuk akarnya:

\( 2\sqrt{8} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{24} \)

Sederhanakan:

\( \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6} \)

Maka:

\( 2\sqrt{24} = 2(2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6} \)

Jadi, hasilnya adalah \( 4\sqrt{6} \).

Ringkasan rumus penting

Penjelasan dasar:

Materi perbandingan di SMA biasanya dibagi menjadi dua ide besar, yaitu:

Jadi, yang pertama harus dipahami siswa adalah melihat arah perubahan kedua besaran itu.

1. Perbandingan senilai

Perbandingan senilai terjadi jika dua besaran berubah searah.

Misalnya:

• Semakin banyak buku, semakin besar harga.
• Semakin banyak pensil dibeli, semakin besar uang yang dibayar.

Bentuk umum:

\( \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{B_{1}}{B_{2}} \)

atau

\( A_{1}:A_{2} = B_{1}:B_{2} \)

2. Perbandingan berbalik nilai

Perbandingan berbalik nilai terjadi jika dua besaran berubah berlawanan arah.

Misalnya:

• Semakin banyak pekerja, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan.
• Semakin cepat kecepatan, semakin singkat waktu tempuh.

Bentuk umum:

\( A_{1} \times B_{1} = A_{2} \times B_{2} \)

Jadi, untuk berbalik nilai, hasil kali kedua pasangan tetap.

3. Skala

Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar dengan ukuran sebenarnya.

Rumus:

\( \text{Skala} = \frac{\text{Jarak pada gambar}}{\text{Jarak sebenarnya}} \)

Dari rumus itu, kita juga bisa menurunkan:

\( \text{Jarak pada gambar} = \text{Skala} \times \text{Jarak sebenarnya} \)

dan

\( \text{Jarak sebenarnya} = \frac{\text{Jarak pada gambar}}{\text{Skala}} \)

Contoh 1

Perbandingan kelereng Akmal, Fajar dan Dava adalah \( 3:5:7 \). Jika jumlah kelereng Fajar dan Dava adalah \( 48 \). Banyak kelereng Akmal adalah ....

Langkah 1: Tulis perbandingan

Akmal \( = 3 \)

Fajar \( = 5 \)

Dava \( = 7 \)

Langkah 2: Gunakan informasi jumlah Fajar dan Dava

Fajar + Dava \( = 5 + 7 = 12 \) bagian

Diketahui \( 12 \) bagian \( = 48 \)

Langkah 3: Cari nilai satu bagian

\( 1 \) bagian \( = \frac{48}{12} = 4 \)

Langkah 4: Cari banyak kelereng Akmal

Akmal \( = 3 \) bagian

\( = 3 \times 4 = 12 \)

Jawaban:

Banyak kelereng Akmal adalah \( 12 \).

Contoh 2

Pekerjaan membuat kolam ikan dapat diselesaikan oleh Andi dalam waktu \( 20 \) hari, sementara Soni dapat menyelesaikannya dalam \( 30 \) hari. Jika mereka bekerja bersama, waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah ....

Soal ini termasuk gabungan kecepatan kerja. Cara yang paling aman untuk siswa SMA adalah memakai konsep pekerjaan per hari.

Langkah 1: Tentukan laju kerja masing-masing

Andi menyelesaikan \( 1 \) pekerjaan dalam \( 20 \) hari, maka laju kerja Andi:

\( \frac{1}{20} \) pekerjaan per hari

Soni menyelesaikan \( 1 \) pekerjaan dalam \( 30 \) hari, maka laju kerja Soni:

\( \frac{1}{30} \) pekerjaan per hari

Langkah 2: Jika bekerja bersama, jumlahkan lajunya

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \)

Samakan penyebut:

\( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \)

Jadi, laju kerja bersama adalah \( \frac{1}{12} \) pekerjaan per hari.

Langkah 3: Tentukan waktu yang dibutuhkan

Jika dalam \( 1 \) hari mereka menyelesaikan \( \frac{1}{12} \) pekerjaan, maka untuk menyelesaikan \( 1 \) pekerjaan penuh diperlukan \( 12 \) hari.

Jawaban:

Waktu yang dibutuhkan adalah \( 12 \) hari.

4. Ringkasan rumus penting

5. Kesimpulan untuk siswa yang baru belajar

Untuk mengerjakan soal perbandingan, langkah pertama bukan langsung menghitung, tetapi menentukan dulu jenisnya:

• kalau naik-naik atau turun-turun, itu senilai,
• kalau satu naik dan yang lain turun, itu berbalik nilai.

Pada soal perbandingan bagian seperti \( 3:5:7 \), gunakan konsep nilai satu bagian. Pada soal kerja bersama, gunakan konsep laju kerja per hari.

Jadi jawaban contoh pada halaman ini adalah:

1) Banyak kelereng Akmal \( = 12 \)

2) Waktu kerja bersama \( = 12 \) hari

Penjelasan dasar:

Aritmetika sosial adalah materi yang membahas perhitungan dalam kehidupan sehari-hari, seperti untung, rugi, harga jual, harga beli, diskon, bunga tabungan, dan sebagainya.

Pada bagian ini, simbol yang dipakai adalah:

1. Rumus untung dan rugi

Jika barang dijual lebih mahal daripada harga belinya, maka terjadi untung.

Rumus:

\( U = J - B \)

Jika barang dijual lebih murah daripada harga belinya, maka terjadi rugi.

Rumus:

\( R = B - J \)

Persentase untung:

\( \%U = \frac{U}{B} \times 100\% \)

Persentase rugi:

\( \%R = \frac{R}{B} \times 100\% \)

Jadi, persentase untung atau rugi selalu dibandingkan terhadap harga beli.

2. Rumus bunga tunggal

Jika \( M \) adalah modal awal dan \( P\% \) adalah bunga per tahun, maka:

Bunga \( 1 \) tahun:

\( \frac{P}{100} \times M \)

Bunga \( b \) bulan:

\( \frac{b}{12} \times \frac{P}{100} \times M \)

Bunga \( h \) hari:

\( \frac{h}{365} \times \frac{P}{100} \times M \)

Pada bunga tunggal, bunga dihitung hanya dari modal awal, bukan dari jumlah akhir.

Contoh 1

Aldi menabung di bank sebesar Rp\( 800.000,00 \) dengan suku bunga tunggal \( 15\% \) setahun. Saat diambil, tabungan Aldi menjadi Rp\( 900.000,00 \). Lama Aldi menabung adalah ....

Langkah 1: Cari bunga yang diperoleh Aldi

Jumlah akhir \( - \) modal awal

\( = 900.000 - 800.000 = 100.000 \)

Jadi bunga yang diperoleh Aldi adalah Rp\( 100.000,00 \).

Langkah 2: Cari bunga per tahun

Bunga \( 1 \) tahun

\( = \frac{15}{100} \times 800.000 \)

\( = 120.000 \)

Jadi, jika menabung selama \( 1 \) tahun, bunga Aldi adalah Rp\( 120.000,00 \).

Langkah 3: Cari lama menabung

Karena bunga yang diterima hanya Rp\( 100.000,00 \), maka:

\( \text{lama menabung} = \frac{100.000}{120.000} \times 12 \)

\( = \frac{5}{6} \times 12 = 10 \)

Jadi, lama Aldi menabung adalah \( 10 \) bulan.

Contoh 2

Setelah \( 9 \) bulan uang tabungan Susi di koperasi berjumlah Rp\( 3.815.000,00 \). Koperasi memberi jasa simpanan berupa bunga \( 12\% \) pertahun. Tabungan awal Susi di koperasi adalah ....

Langkah 1: Misalkan tabungan awal Susi \( = M \)

Karena bunga \( 12\% \) per tahun, maka untuk \( 9 \) bulan:

\( \text{bunga} = \frac{9}{12} \times \frac{12}{100} \times M \)

\( = \frac{9}{100}M \)

Langkah 2: Bentuk jumlah akhir

Jumlah akhir \( = \) modal awal \( + \) bunga

\( 3.815.000 = M + \frac{9}{100}M \)

\( 3.815.000 = \frac{109}{100}M \)

Langkah 3: Cari \( M \)

\( M = 3.815.000 \times \frac{100}{109} \)

\( M = 35.000 \times 100 \)

\( M = 3.500.000 \)

Jadi, tabungan awal Susi di koperasi adalah Rp\( 3.500.000,00 \).

Ringkasan rumus penting

Kesimpulan:

Dalam aritmetika sosial, siswa harus sangat paham perbedaan antara:

• harga beli dan harga jual,
• untung dan rugi,
• modal awal dan jumlah akhir,
• bunga per tahun dan bunga untuk beberapa bulan.

Jadi jawaban contoh pada halaman ini adalah:

1) Lama Aldi menabung \( = 10 \) bulan

2) Tabungan awal Susi \( = \) Rp\( 3.500.000,00 \)

Penjelasan dasar:

Materi ini terdiri dari dua bagian utama yaitu barisan dan deret.

1. Barisan aritmetika

Barisan aritmetika memiliki selisih tetap.

Rumus suku ke-\( n \):

\( U_n = a + (n-1)b \)

dengan:

• \( a \) = suku pertama
• \( b \) = beda
• \( n \) = nomor suku

Contoh 1

Barisan \( 7,15,23,31,39,\ldots \)

Langkah pertama cari beda:

\( b = 15-7 = 8 \)

Sehingga

\( a = 7 \)

Gunakan rumus suku ke-\( n \)

\( U_n = a + (n-1)b \)

\( U_{50} = 7 + (50-1)8 \)

\( = 7 + 49 \times 8 \)

\( = 7 + 392 \)

\( = 399 \)

Jadi suku ke \( 50 \) adalah \( 399 \).

2. Barisan geometri

Barisan geometri memiliki rasio tetap.

Rumus suku ke-\( n \):

\( U_n = ar^{n-1} \)

dengan:

• \( a \) = suku pertama
• \( r \) = rasio

Contoh 2

Potongan tali membentuk barisan geometri.

Potongan terpendek \( = 6 \)

Potongan terpanjang \( = 96 \)

Jumlah potongan \( = 5 \)

Gunakan rumus:

\( U_n = ar^{n-1} \)

\( 96 = 6r^{4} \)

\( r^{4} = 16 \)

\( r = 2 \)

Barisan menjadi

\( 6,12,24,48,96 \)

Jumlah panjang tali adalah

\( 6+12+24+48+96 \)

\( = 186 \)

Jadi panjang tali mula-mula adalah \( 186 \) cm.

3. Deret aritmetika

Jumlah \( n \) suku pertama deret aritmetika:

\( S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \)

atau

\( S_n = \frac{n}{2}(a+U_n) \)

Contoh 3

Diketahui

\( U_3 = 18 \)

\( U_7 = 38 \)

Gunakan rumus

\( U_n = a+(n-1)b \)

\( U_3 = a+2b = 18 \)

\( U_7 = a+6b = 38 \)

Kurangkan kedua persamaan:

\( 4b = 20 \)

\( b = 5 \)

Substitusi:

\( a+2(5)=18 \)

\( a = 8 \)

Sekarang hitung jumlah \( 24 \) suku pertama.

\( S_{24} = \frac{24}{2}(2a+23b) \)

\( = 12(16+115) \)

\( = 12(131) \)

\( = 1572 \)

Jawaban akhir

1) \( 399 \)

2) \( 186 \) cm

3) \( 1572 \)

Ringkasan rumus penting

Penjelasan dasar:

Materi bentuk aljabar pada bagian ini berisi dua inti besar, yaitu:

Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, yang paling penting adalah memahami bahwa:

\( (a+b)^2 \) artinya \( (a+b)(a+b) \)

dan

\( (a-b)^2 \) artinya \( (a-b)(a-b) \).

1. Identitas kuadrat dua suku

Rumus paling dasar:

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Banyak siswa keliru pada tanda tengah. Perhatikan:

• Jika bentuk awal \( (a+b)^2 \), maka suku tengah \( +2ab \)
• Jika bentuk awal \( (a-b)^2 \), maka suku tengah \( -2ab \)

Contoh:

\( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)

\( (x-5)^2 = x^2 - 10x + 25 \)

2. Identitas pangkat tiga

Rumus:

\( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

\( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)

Contoh:

\( (x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2^2) + 2^3 \)

\( = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

3. Identitas lain yang penting

Selisih dua kuadrat:

\( x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) \)

Jumlah dua kubus:

\( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \)

Selisih dua kubus:

\( x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) \)

Perhatikan baik-baik:

• Pada \( x^3 + y^3 \), faktor keduanya adalah \( x^2 - xy + y^2 \)
• Pada \( x^3 - y^3 \), faktor keduanya adalah \( x^2 + xy + y^2 \)

4. Pemfaktoran bentuk kuadrat

Jika bentuknya:

\( x^2 + bx + c \)

maka carilah dua bilangan \( p \) dan \( q \) sehingga:

\( pq = c \)

\( p+q = b \)

sehingga:

\( x^2 + bx + c = (x+p)(x+q) \)

Contoh:

\( x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) \)

karena:

\( 2 \times 3 = 6 \)

\( 2 + 3 = 5 \)

5. Jika koefisien depan bukan \( 1 \)

Bentuk:

\( ax^2 + bx + c \)

dicari dua bilangan yang memenuhi:

\( pq = ac \)

\( p+q = b \)

lalu difaktorkan bertahap.

Contoh 1

Salah satu faktor dari \( 4x^2 - 5x - 6 \) adalah ....

Langkah 1: Hitung \( ac \)

\( a = 4,\; b = -5,\; c = -6 \)

\( ac = 4 \times (-6) = -24 \)

Langkah 2: Cari dua bilangan yang hasil kalinya \( -24 \) dan jumlahnya \( -5 \)

Bilangan itu adalah \( -8 \) dan \( 3 \)

karena

\( -8 \times 3 = -24 \)

\( -8 + 3 = -5 \)

Langkah 3: Pecah suku tengah

\( 4x^2 - 5x - 6 = 4x^2 - 8x + 3x - 6 \)

Langkah 4: Faktorkan berkelompok

\( = 4x(x-2) + 3(x-2) \)

\( = (4x+3)(x-2) \)

Jadi, salah satu faktornya adalah \( (4x+3) \) atau \( (x-2) \).

Contoh 2

Perhatikan pemfaktoran berikut ini

(i) \( 15x^2y - 20xy^2 = 5xy(3x - 4y) \)

(ii) \( p^2 - 16 = (p-4)(p-4) \)

(iii) \( 3a^2 + 8a - 3 = (3a-1)(a+3) \)

Pemfaktoran yang benar adalah ....

Pembahasan (i):

\( 15x^2y - 20xy^2 \)

faktor persekutuan terbesarnya adalah \( 5xy \)

sehingga:

\( 15x^2y - 20xy^2 = 5xy(3x - 4y) \)

Jadi, (i) benar.

Pembahasan (ii):

\( p^2 - 16 = p^2 - 4^2 \)

ini adalah selisih dua kuadrat, sehingga:

\( p^2 - 16 = (p+4)(p-4) \)

bukan

\( (p-4)(p-4) \)

Jadi, (ii) salah.

Pembahasan (iii):

Uji hasil kali ruas kanan:

\( (3a-1)(a+3) = 3a^2 + 9a - a - 3 \)

\( = 3a^2 + 8a - 3 \)

sama dengan ruas kiri.

Jadi, (iii) benar.

Jawaban:

Pemfaktoran yang benar adalah (i) dan (iii).

Ringkasan rumus penting

Kesimpulan:

Pada bentuk aljabar, siswa harus benar-benar hafal identitas dasar, terutama: \( (a+b)^2 \), \( (a-b)^2 \), \( a^2-b^2 \), serta teknik pemfaktoran bentuk kuadrat. Karena banyak soal SMA dan SNBT tidak meminta menghitung panjang, tetapi meminta mengenali bentuk dengan cepat.

Penjelasan dasar:

Pada materi ini ada beberapa istilah penting yang harus benar-benar dipahami:

Ciri paling penting suatu himpunan pasangan berurutan merupakan fungsi adalah:

setiap unsur pertama tidak boleh mempunyai lebih dari satu pasangan.

Jadi, jika ada unsur pertama yang berulang tetapi pasangannya berbeda, maka itu bukan fungsi.

1) Menentukan himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi

Diberikan:

i. \( \{(1,3),(2,3),(3,3)\} \)

Unsur pertama adalah \( 1,2,3 \). Semua berbeda.

Jadi, i merupakan fungsi.

ii. \( \{(1,2),(1,3),(1,4)\} \)

Unsur pertama \( 1 \) berulang dan mempunyai pasangan berbeda, yaitu \( 2,3,4 \).

Jadi, ii bukan fungsi.

iii. \( \{(3,3),(3,3),(3,3)\} \)

Unsur pertama memang berulang, tetapi semuanya tetap berpasangan dengan nilai yang sama, yaitu \( 3 \).

Secara makna, pasangan yang terbentuk tetap hanya \( (3,3) \).

Jadi, iii merupakan fungsi.

iv. \( \{(3,5),(2,4),(1,3)\} \)

Unsur pertama adalah \( 3,2,1 \). Semua berbeda.

Jadi, iv merupakan fungsi.

Jawaban nomor 1:

Himpunan pasangan berurutan yang merupakan fungsi adalah i, iii, dan iv.

2) Menentukan nilai \( k \) dari \( f(k)=-10 \)

Diketahui:

\( f(x)=8-2x \)

dan

\( f(k)=-10 \)

Maka:

\( 8-2k=-10 \)

Pindahkan \( 8 \) ke ruas kanan:

\( -2k=-18 \)

Bagi dengan \( -2 \):

\( k=9 \)

Jawaban nomor 2:

Nilai \( k \) adalah \( 9 \).

3) Banyak pemetaan yang mungkin dari \( A \) ke \( B \)

Diketahui:

\( A=\{2,3,5,7\} \)

sehingga banyak anggota \( A \) adalah \( 4 \).

\( B=\{1,2,3\} \)

sehingga banyak anggota \( B \) adalah \( 3 \).

Rumus banyak fungsi dari \( A \) ke \( B \):

\( b^a \)

dengan \( a=n(P) \) dan \( b=n(Q) \).

Jadi:

\( 3^4=81 \)

Jawaban nomor 3:

Banyak pemetaan yang mungkin adalah \( 81 \).

4) Menentukan \( h(-6) \) jika \( h(x)=ax+b \)

Diketahui:

\( h(x)=ax+b \)

\( h(-1)=-5 \)

\( h(4)=5 \)

Substitusi ke rumus fungsi:

Untuk \( x=-1 \):

\( -a+b=-5 \)

Untuk \( x=4 \):

\( 4a+b=5 \)

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

\( (4a+b)-(-a+b)=5-(-5) \)

\( 5a=10 \)

\( a=2 \)

Substitusikan ke \( -a+b=-5 \):

\( -2+b=-5 \)

\( b=-3 \)

Jadi:

\( h(x)=2x-3 \)

Sekarang cari \( h(-6) \):

\( h(-6)=2(-6)-3 \)

\( =-12-3 \)

\( =-15 \)

Jawaban nomor 4:

\( h(-6)=-15 \)

Ringkasan rumus penting

Kesimpulan:

Pada materi relasi dan fungsi, siswa harus fokus pada tiga hal:

1) membedakan relasi dan fungsi,

2) memeriksa apakah unsur pertama berulang dengan pasangan berbeda,

3) memakai rumus fungsi linear dengan substitusi secara teliti.

Jadi jawaban soal-soal di atas adalah:

1) i, iii, dan iv

2) \( 9 \)

3) \( 81 \)

4) \( -15 \)

Penjelasan dasar:

Materi persamaan garis lurus terdiri dari dua konsep utama yaitu gradien dan persamaan garis.

1. Gradien garis

Gradien menunjukkan arah kemiringan garis.

• Jika garis naik ke kanan → gradien positif
• Jika garis turun ke kanan → gradien negatif
• Jika garis horizontal → gradien \( 0 \)
• Jika garis vertikal → gradien tidak terdefinisi

Rumus gradien dari dua titik:

\( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)

2. Bentuk persamaan garis

Bentuk yang paling sering digunakan adalah

\( y = mx + c \)

dengan

• \( m \) = gradien
• \( c \) = titik potong sumbu \( y \)

Jika diketahui satu titik dan gradien maka digunakan

\( y-y_1 = m(x-x_1) \)

Contoh 1

Gradien garis dengan persamaan

\( 3x - 6y = -5 \)

Langkah pertama ubah ke bentuk

\( y = mx + c \)

\( 3x - 6y = -5 \)

pindahkan \( 3x \)

\( -6y = -3x -5 \)

bagi \( -6 \)

\( y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{6} \)

Sehingga gradien

\( m = \frac{1}{2} \)

Jawaban:

Gradien garis tersebut adalah \( \frac{1}{2} \).

Contoh 2

Titik \( A(10,p) \) terletak pada garis yang melalui \( B(3,1) \) dan \( C(-4,-13) \).

Langkah pertama cari gradien garis \( BC \).

\( m = \frac{-13 - 1}{-4 - 3} \)

\( = \frac{-14}{-7} \)

\( = 2 \)

Jadi gradien garis tersebut adalah \( 2 \).

Gunakan rumus

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

gunakan titik \( B(3,1) \)

\( y - 1 = 2(x - 3) \)

\( y - 1 = 2x - 6 \)

\( y = 2x - 5 \)

Sekarang substitusi titik \( A(10,p) \)

\( p = 2(10) - 5 \)

\( p = 20 - 5 \)

\( p = 15 \)

Jawaban:

Nilai \( p = 15 \).

Ringkasan rumus penting

Kesimpulan:

Pada materi persamaan garis lurus, yang paling penting adalah memahami hubungan antara gradien, titik pada garis, dan bentuk persamaan garis.

Jika sudah memahami tiga rumus utama yaitu

\( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)

\( y = mx + c \)

dan

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

maka hampir semua soal persamaan garis lurus dapat diselesaikan.

Jadi jawaban soal di atas adalah

1) \( \frac{1}{2} \)

2) \( 15 \)

Penjelasan dasar:

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan yang memuat dua variabel, biasanya \( x \) dan \( y \), lalu dicari nilai keduanya yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

Untuk siswa yang baru pertama kali belajar, metode yang paling aman biasanya adalah eliminasi, karena langkahnya paling teratur.

1. Banyaknya penyelesaian SPLDV

Untuk bentuk:

\( a_1x + b_1y = c_1 \)

\( a_2x + b_2y = c_2 \)

ada tiga kemungkinan:

Contoh 1

Penyelesaian dari \( \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}y = 1 \) dan \( \frac{1}{2}x + \frac{5}{3}y = -7 \) adalah \( x=p \) dan \( y=q \). Nilai dari \( p-4q \) adalah ....

Langkah 1: Hilangkan pecahan agar lebih mudah

Persamaan pertama:

\( \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}y = 1 \)

KPK penyebut \( 4 \) dan \( 3 \) adalah \( 12 \), maka kalikan semua ruas dengan \( 12 \):

\( 3x - 8y = 12 \)

Persamaan kedua:

\( \frac{1}{2}x + \frac{5}{3}y = -7 \)

KPK penyebut \( 2 \) dan \( 3 \) adalah \( 6 \), maka kalikan semua ruas dengan \( 6 \):

\( 3x + 10y = -42 \)

Langkah 2: Eliminasi \( x \)

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

\( (3x + 10y) - (3x - 8y) = -42 - 12 \)

\( 18y = -54 \)

\( y = -3 \)

Langkah 3: Substitusi ke salah satu persamaan

Gunakan \( 3x - 8y = 12 \)

\( 3x - 8(-3) = 12 \)

\( 3x + 24 = 12 \)

\( 3x = -12 \)

\( x = -4 \)

Jadi:

\( p = -4 \)

\( q = -3 \)

Langkah 4: Hitung \( p-4q \)

\( p - 4q = -4 - 4(-3) \)

\( = -4 + 12 \)

\( = 8 \)

Jawaban:

Nilai \( p-4q \) adalah \( 8 \).

Contoh 2

Adi membeli \( 4 \) buku tulis dan \( 1 \) pensil seharga Rp\( 14.000,00 \). Budi membeli \( 6 \) buku tulis dan \( 2 \) pensil seharga Rp\( 22.000,00 \). Jika Citra membeli \( 6 \) buku tulis dan \( 1 \) pensil, besar uang yang harus dibayar adalah ....

Langkah 1: Misalkan

harga satu buku tulis \( = x \)

harga satu pensil \( = y \)

Maka diperoleh:

\( 4x + y = 14.000 \)

\( 6x + 2y = 22.000 \)

Langkah 2: Sederhanakan persamaan kedua

\( 6x + 2y = 22.000 \)

bagi \( 2 \):

\( 3x + y = 11.000 \)

Langkah 3: Eliminasi \( y \)

Dari:

\( 4x + y = 14.000 \)

\( 3x + y = 11.000 \)

Kurangkan:

\( x = 3.000 \)

Langkah 4: Cari \( y \)

Substitusi ke \( 3x + y = 11.000 \)

\( 3(3.000) + y = 11.000 \)

\( 9.000 + y = 11.000 \)

\( y = 2.000 \)

Langkah 5: Hitung pembelian Citra

Citra membeli \( 6 \) buku tulis dan \( 1 \) pensil:

\( 6x + y = 6(3.000) + 2.000 \)

\( = 18.000 + 2.000 \)

\( = 20.000 \)

Jawaban:

Besar uang yang harus dibayar adalah Rp\( 20.000,00 \).

Contoh 3

Harga satu topi sama dengan \( 3 \) kali harga satu dasi. Fitra membeli \( 5 \) topi dan \( 10 \) dasi seharga Rp\( 125.000,00 \). Jika Salmiah membeli \( 15 \) topi dan \( 20 \) dasi, jumlah harga barang yang dibeli Salmiah adalah ....

Langkah 1: Misalkan

harga satu dasi \( = d \)

harga satu topi \( = t \)

Diketahui:

\( t = 3d \)

dan pembelian Fitra:

\( 5t + 10d = 125.000 \)

Langkah 2: Substitusi \( t = 3d \)

\( 5(3d) + 10d = 125.000 \)

\( 15d + 10d = 125.000 \)

\( 25d = 125.000 \)

\( d = 5.000 \)

Maka:

\( t = 3(5.000) = 15.000 \)

Langkah 3: Hitung belanja Salmiah

\( 15t + 20d = 15(15.000) + 20(5.000) \)

\( = 225.000 + 100.000 \)

\( = 325.000 \)

Jawaban:

Jumlah harga barang yang dibeli Salmiah adalah Rp\( 325.000,00 \).

Ringkasan rumus penting

Kesimpulan:

Pada materi SPLDV, langkah paling penting adalah:

1) memisalkan variabel dengan jelas,

2) membentuk dua persamaan yang benar,

3) memakai eliminasi atau substitusi dengan teliti.

Jadi jawaban soal-soal di atas adalah:

1) \( 8 \)

2) Rp\( 20.000,00 \)

3) Rp\( 325.000,00 \)

Pada soal ini, kerjakan operasi bagi dan kali terlebih dahulu, kemudian penjumlahan.

\( (-12) : 3 = -4 \)

\( 8 \times (-5) = -40 \)

Maka,

\( (-12) : 3 + 8 \times (-5) = -4 + (-40) \)

\( = -44 \)

Jadi, hasilnya adalah \( -44 \).

Jumlah nomor halaman dari \( 1 \) sampai \( 96 \) seharusnya dihitung dengan rumus jumlah bilangan asli:

\( S_n = \frac{n}{2}(a+U_n) \)

Di sini:

\( n = 96 \)

\( a = 1 \)

\( U_n = 96 \)

Maka,

\( S_{96} = \frac{96}{2}(1+96) \)

\( = 48 \times 97 \)

\( = 4656 \)

Tetapi Beni memperoleh jumlah \( 4574 \).

Selisihnya:

\( 4656 - 4574 = 82 \)

Karena ada satu halaman yang dihitung dua kali, maka nomor halaman yang bermasalah adalah selisih antara jumlah yang benar dan jumlah yang tercatat berbeda satu kali hitung. Dari data yang ada, jumlah yang tercatat justru kurang \( 82 \) dari jumlah yang benar, sehingga secara logika kalimat soal kemungkinan maksudnya adalah terjadi kesalahan pada satu halaman sebesar \( 82 \).

Jadi, halaman itu adalah \( 82 \).

Soal ini menggunakan perbandingan berbalik nilai.

Semakin sedikit waktu, semakin banyak pekerja yang dibutuhkan.

Gunakan rumus:

\( \text{pekerja}_1 \times \text{waktu}_1 = \text{pekerja}_2 \times \text{waktu}_2 \)

\( 15 \times 12 = x \times 9 \)

\( 180 = 9x \)

\( x = 20 \)

Jadi jumlah pekerja yang diperlukan agar selesai dalam \( 9 \) minggu adalah \( 20 \) orang.

Pekerja semula \( 15 \) orang, maka pekerja yang harus ditambah:

\( 20 - 15 = 5 \)

Jadi, banyak pekerja yang harus ditambah adalah \( 5 \) orang.

Gunakan sifat perpangkatan:

\( a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \)

Maka,

\( 2^{-3} \times 2^{-2} = 2^{-5} \)

Pangkat negatif berarti kebalikan:

\( 2^{-5} = \frac{1}{2^5} \)

\( = \frac{1}{32} \)

Jadi, hasilnya adalah \( \frac{1}{32} \).

Sederhanakan setiap bentuk akar terlebih dahulu.

\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)

\( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \)

Maka,

\( \sqrt{32} - \sqrt{2} + \sqrt{128} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} + 8\sqrt{2} \)

\( = (4 - 1 + 8)\sqrt{2} \)

\( = 11\sqrt{2} \)

Jadi, hasilnya adalah \( 11\sqrt{2} \).

Diketahui:

Modal awal \( = \) Rp \( 800.000,00 \)

Tabungan akhir \( = \) Rp \( 950.000,00 \)

Maka bunga yang diperoleh Rudi adalah

\( 950.000 - 800.000 = 150.000 \)

Bunga \( 1 \) tahun:

\( \frac{25}{100} \times 800.000 = 200.000 \)

Jadi, dalam \( 1 \) tahun bunga yang diperoleh adalah Rp \( 200.000,00 \).

Karena bunga yang benar-benar diperoleh hanya Rp \( 150.000,00 \), maka lama menabung:

\( \frac{150.000}{200.000} \times 12 = \frac{3}{4} \times 12 = 9 \)

Jadi, lama ia menabung adalah \( 9 \) bulan.

Diketahui harga jual sepeda adalah Rp\( 500.000,00 \).

Untung \( 25\% \) dari harga beli berarti:

\( J = B + 25\% \times B \)

\( = 125\% \times B \)

\( = \frac{125}{100}B \)

Karena \( J = 500.000 \), maka:

\( 500.000 = \frac{125}{100}B \)

\( B = 500.000 \times \frac{100}{125} \)

\( = 400.000 \)

Jadi, harga pembelian sepeda tersebut adalah Rp\( 400.000,00 \).

Perhatikan selisih antar suku:

\( 17 - 20 = -3 \)

\( 13 - 17 = -4 \)

\( 8 - 13 = -5 \)

Terlihat bahwa selisihnya berurutan: \( -3,-4,-5,\ldots \)

Maka selisih berikutnya adalah \( -6 \) dan \( -7 \).

Suku sesudah \( 8 \):

\( 8 - 6 = 2 \)

Suku berikutnya lagi:

\( 2 - 7 = -5 \)

Jadi, dua suku berikutnya adalah \( 2 \) dan \( -5 \).

Barisan ini adalah barisan geometri.

Suku pertama:

\( a = 243 \)

Rasio:

\( r = \frac{81}{243} = \frac{1}{3} \)

Rumus suku ke-\( n \) barisan geometri adalah

\( U_n = ar^{n-1} \)

Maka:

\( U_n = 243\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)

Jadi, rumus suku ke-\( n \) adalah \( 243\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \).

Gabungkan suku-suku sejenis.

Suku \( x^2 \):

\( 2x^2 + 5x^2 = 7x^2 \)

Suku \( x \):

\( -x - 5x = -6x \)

Konstanta:

\( -6 + 10 = 4 \)

Jadi, bentuk sederhananya adalah

\( 7x^2 - 6x + 4 \)

Garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama.

Dari persamaan

\( y = -\frac{1}{2}x + 8 \)

gradiennya adalah

\( m = -\frac{1}{2} \)

Karena garis yang dicari melalui titik \( (-4,4) \), gunakan rumus:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - 4 = -\frac{1}{2}(x - (-4)) \)

\( y - 4 = -\frac{1}{2}(x + 4) \)

\( y - 4 = -\frac{1}{2}x - 2 \)

\( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)

Jadi, persamaan garisnya adalah

\( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)

Soal ini adalah SPLDV.

Langkah pertama, hilangkan pecahan agar lebih mudah.

Persamaan pertama:

\( \frac{3}{4}x + \frac{1}{6}y = 4 \)

KPK dari \( 4 \) dan \( 6 \) adalah \( 12 \), maka:

\( 12 \left(\frac{3}{4}x + \frac{1}{6}y = 4\right) \)

\( 9x + 2y = 48 \)

Persamaan kedua:

\( \frac{1}{2}x - \frac{2}{3}y = -2 \)

Kalikan dengan \( 12 \):

\( 6x - 8y = -24 \)

Jadi sistemnya menjadi:

\( 9x + 2y = 48 \)

\( 6x - 8y = -24 \)

Agar \( y \) hilang, kalikan persamaan pertama dengan \( 4 \):

\( 36x + 8y = 192 \)

Jumlahkan dengan persamaan kedua:

\( 36x + 8y = 192 \)

\( 6x - 8y = -24 \)

\( 42x = 168 \)

\( x = 4 \)

Substitusi ke \( 9x + 2y = 48 \):

\( 9(4) + 2y = 48 \)

\( 36 + 2y = 48 \)

\( 2y = 12 \)

\( y = 6 \)

Jadi, penyelesaiannya adalah

\( x = 4 \) dan \( y = 6 \)

Untuk memeriksa benar atau salahnya suatu pemfaktoran, cara paling aman adalah mengalikan kembali ruas kanan.

(1) \( (2x - 1)(x + 5) \)

\( = 2x(x+5) - 1(x+5) \)

\( = 2x^2 + 10x - x - 5 \)

\( = 2x^2 + 9x - 5 \)

Jadi, (1) benar.

(2) \( (2x - 1)(x + 3) \)

\( = 2x(x+3) - 1(x+3) \)

\( = 2x^2 + 6x - x - 3 \)

\( = 2x^2 + 5x - 3 \)

Hasil ini bukan \( 2x^2 - 5x - 3 \).

Jadi, (2) salah.

(3) \( (2x - 1)(2x + 3) \)

\( = 2x(2x+3) - 1(2x+3) \)

\( = 4x^2 + 6x - 2x - 3 \)

\( = 4x^2 + 4x - 3 \)

Jadi, (3) benar.

(4) \( (2x + 3)(3x - 1) \)

\( = 2x(3x-1) + 3(3x-1) \)

\( = 6x^2 - 2x + 9x - 3 \)

\( = 6x^2 + 7x - 3 \)

Jadi, (4) benar.

Maka pemfaktoran yang benar adalah

\( (1), (3), \) dan \( (4) \)

Diketahui

\( f(x) = px + q \)

Karena \( f(1) = 5 \), maka

\( p(1) + q = 5 \)

\( p + q = 5 \)

Karena \( f(3) = -1 \), maka

\( 3p + q = -1 \)

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

\( (3p + q) - (p + q) = -1 - 5 \)

\( 2p = -6 \)

\( p = -3 \)

Substitusi ke \( p + q = 5 \):

\( -3 + q = 5 \)

\( q = 8 \)

Jadi

\( f(x) = -3x + 8 \)

Maka

\( f(-1) = -3(-1) + 8 \)

\( = 3 + 8 \)

\( = 11 \)

Jadi, nilai \( f(-1) \) adalah \( 11 \).

Diketahui

\( f(x) = 4x - 2 \)

dan

\( f(a) = 26 \)

Maka

\( 4a - 2 = 26 \)

\( 4a = 28 \)

\( a = 7 \)

Jadi, nilai \( a \) adalah \( 7 \).

Diketahui

\( f(x) = 5x - 3 \)

Untuk mencari \( f(3x+2) \), gantikan setiap \( x \) pada rumus dengan \( 3x+2 \).

Maka

\( f(3x+2) = 5(3x+2) - 3 \)

\( = 15x + 10 - 3 \)

\( = 15x + 7 \)

Jadi, hasil dari \( f(3x+2) \) adalah \( 15x + 7 \).