36. \((a + b)^5 = a^5 + pa^4b + qa^3b^2 + ra^2b^3 + sab^4 + b^5\). Nilai \(5p - 4q\) adalah ....
| A. \(-30\) | C. \(65\) |
| B. \(-15\) | D. \(70\) |
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Gunakan teorema binomial:
\((a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\).
Bandingkan dengan bentuk pada soal:
\(p = 5\) dan \(q = 10\).
Maka:
\(5p - 4q = 5(5) - 4(10) = 25 - 40 = -15\).
Jadi nilai \(5p - 4q\) adalah \(-15\), yaitu pilihan B.
Catatan: Nilai yang konsisten dengan teorema binomial menghasilkan \(-15\), bukan \(65\).
37. Suku ke-\(n\) dari barisan \(1, 3, 5, 10, 15, 21, \ldots\) adalah ....
| A. \(n(n+1)\) | C. \(n(n+2)\) |
| B. \(\frac{n(n+1)}{2}\) | D. \(\frac{n(n+2)}{2}\) |
Jawaban & Analisis
Jawaban: B
Perhatikan pola mulai suku ke-2:
\(3, 6, 10, 15, 21, \ldots\) adalah bilangan segitiga: \(T_2, T_3, T_4, T_5, T_6, \ldots\) dengan rumus \(T_k = \frac{k(k+1)}{2}\).
Namun deret pada soal dimulai \(1, 3, 5, 10, 15, 21\). Ini menunjukkan ada kemungkinan salah ketik pada suku ke-3, karena pola bilangan segitiga yang benar adalah:
\(1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots\).
Jika mengikuti pola paling lazim (bilangan segitiga), suku ke-\(n\) adalah:
\(U_n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Jadi pilihan yang sesuai adalah \(\frac{n(n+1)}{2}\).
38. Selembar kertas dipotong menjadi \(2\) bagian, setiap bagian dipotong lagi menjadi \(2\), dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan yang kelima sama dengan ....
| A. \(12\) bagian | C. \(32\) bagian |
| B. \(16\) bagian | D. \(36\) bagian |
Jawaban & Analisis
Jawaban: C
Setiap tahap jumlah potongan menjadi dua kali lipat (dikalikan \(2\)).
Jika potongan pertama menghasilkan \(2\) bagian, maka:
Potongan ke-1: \(2 = 2^1\).
Potongan ke-2: \(4 = 2^2\).
Potongan ke-3: \(8 = 2^3\).
Potongan ke-4: \(16 = 2^4\).
Potongan ke-5: \(32 = 2^5\).
Jadi jumlah potongan setelah potongan yang kelima adalah \(32\) bagian.
39.
Gambar di atas menunjukkan sketsa seseorang melihat puncak menara \(R\) dari titik \(P\) dan titik \(Q\). Sudut elevasi puncak menara terhadap mata pengamat di titik \(P\) adalah \(30^\circ\) dan jarak \(PQ = 100\) m. Berapakah tinggi menara \((OR)\)? \((\sin 30^\circ = \frac{1}{2},\ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3})\)
| A. \(25\sqrt{3}\) | C. \(50\sqrt{3}\) |
| B. \(33\sqrt{3}\) | D. \(100\sqrt{3}\) |
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Dari gambar, \(\angle PRQ = 90^\circ\) (tanda siku-siku di \(R\)). Garis \(RO\) adalah tinggi ke hipotenusa \(PQ\) dengan kaki di \(O\).
Diketahui sudut elevasi dari \(P\) adalah \(30^\circ\), berarti pada segitiga \(PRQ\), sudut di \(P\) adalah \(30^\circ\).
Karena segitiga siku-siku, maka sudut di \(Q\) adalah \(60^\circ\).
Dengan \(PQ = 100\) sebagai hipotenusa, diperoleh:
\(PR = PQ \cdot \cos 30^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\).
\(RQ = PQ \cdot \sin 30^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\).
Tinggi ke hipotenusa pada segitiga siku-siku memenuhi:
\(OR = \frac{PR \cdot RQ}{PQ}\).
\(OR = \frac{(50\sqrt{3})(50)}{100} = 25\sqrt{3}\).
Jadi tinggi menara \(OR = 25\sqrt{3}\).
40. Diketahui \(^{2}\log 3 = x\), dan \(^{2}\log 4 = y\). Nilai \(^{2}\log 36\) adalah ....
| A. \(2x + y\) | C. \(2xy\) |
| B. \(x + 2y\) | D. \(x^2y\) |
Jawaban & Analisis
Jawaban: A
Ubah \(36\) menjadi faktor yang terkait \(3\) dan \(4\):
\(36 = 9 \cdot 4 = 3^2 \cdot 4\).
Maka:
\(^{2}\log 36 = {}^{2}\log(3^2 \cdot 4) = {}^{2}\log(3^2) + {}^{2}\log 4\).
\(= 2\cdot {}^{2}\log 3 + y = 2x + y\).
Jadi nilainya adalah \(2x + y\).