Soal 1. Hasil dari \(\left(32^2\right)^{-\frac{2}{5}}\) adalah ....
| A. | \(-16\) |
| B. | \(-\frac{1}{16}\) |
| C. | \(\frac{1}{16}\) |
| D. | \(16\) |
Jawaban dan Analisis
Jawaban: C
Langkah 1: \(\,32=2^5\Rightarrow 32^2=(2^5)^2=2^{10}\).
Langkah 2: \(\left(2^{10}\right)^{-\frac{2}{5}}=2^{10\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)}=2^{-4}\).
Langkah 3: \(2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\).
Analisis opsi:
A. \(-16\) salah karena hasilnya bilangan positif.
B. \(-\frac{1}{16}\) salah karena hasilnya tidak negatif.
C. \(\frac{1}{16}\) sesuai hasil perhitungan, benar.
D. \(16\) salah karena \(2^{-4}\lt 1\), bukan \(16\).
Soal 2. Hasil dari \(3\sqrt{2}\times \sqrt{75}:\sqrt{54}\) adalah ....
| A. | \(25\) |
| B. | \(15\) |
| C. | \(5\) |
| D. | \(3\) |
Jawaban dan Analisis
Jawaban: C
Langkah 1 (ubah menjadi pecahan): \(3\sqrt{2}\times \sqrt{75}:\sqrt{54}=\frac{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{75}}{\sqrt{54}}\).
Langkah 2 (sederhanakan akar): \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\) dan \(\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt{6}\).
Langkah 3: \(\frac{3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}=\frac{15\sqrt{6}}{3\sqrt{6}}=5\).
Analisis opsi:
A. \(25\) terlalu besar karena hasilnya tepat \(5\).
B. \(15\) adalah nilai pembilang sebelum dibagi \(3\), sehingga tidak tepat.
C. \(5\) sesuai hasil perhitungan, benar.
D. \(3\) terlalu kecil; setelah penyederhanaan, faktor \(\sqrt{6}\) saling habis dan tersisa \(5\).
Soal 3. Bentuk sederhana dari \(\frac{4}{2+\sqrt{3}}\) adalah ....
| A. | \(8-4\sqrt{3}\) |
| B. | \(8-\sqrt{3}\) |
| C. | \(8+\sqrt{3}\) |
| D. | \(8+4\sqrt{3}\) |
Jawaban dan Analisis
Jawaban: A
Langkah 1 (rationalisasi penyebut):
\(\frac{4}{2+\sqrt{3}}\times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\).
Langkah 2 (gunakan selisih kuadrat): \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1\).
Langkah 3: \(\frac{4(2-\sqrt{3})}{1}=8-4\sqrt{3}\).
Analisis opsi:
A. \(8-4\sqrt{3}\) sesuai hasil rationalisasi, benar.
B. \(8-\sqrt{3}\) salah karena faktor \(\sqrt{3}\) seharusnya dikali \(4\).
C. \(8+\sqrt{3}\) salah tanda dan koefisien.
D. \(8+4\sqrt{3}\) salah tanda; seharusnya \(-4\sqrt{3}\).
Soal 4. Perhatikan pola pada gambar berikut!
Banyak batang korek api untuk membuat pola ke-\(20\) adalah ....
Gunakan gambar pada soal.)
| A. | \(67\) |
| B. | \(71\) |
| C. | \(75\) |
| D. | \(79\) |
Jawaban dan Analisis
Jawaban: D
Langkah 1 (amati banyak batang): Pada pola \((1)\) terlihat \(3\) batang korek api (membentuk \(1\) segitiga).
Langkah 2 (pola pertambahan): Dari pola \((1)\) ke \((2)\), dan \((2)\) ke \((3)\), jumlah batang bertambah tetap \(4\) batang setiap naik \(1\) pola.
Model barisan: Jika \(U_n\) banyak batang pada pola ke-\(n\), maka \(U_1=3\) dan beda \(d=4\), sehingga \(U_n=3+(n-1)\cdot 4\).
Hitung pola ke-\(20\): \(U_{20}=3+(20-1)\cdot 4=3+76=79\).
Karena \(20\gt 3\), jumlah batang juga jauh lebih besar dari pola awal, dan \(79\) sesuai hasil hitung.
Analisis opsi:
A. \(67\) lebih kecil dari hasil perhitungan \(79\).
B. \(71\) masih lebih kecil dari hasil perhitungan \(79\).
C. \(75\) juga lebih kecil dari hasil perhitungan \(79\).
D. \(79\) sesuai rumus barisan \(U_{20}\), benar.
Soal 5. Suku ke-\(14\) barisan \(15, 24, 35, 48, 63, \ldots\) adalah ....
| A. | \(185\) |
| B. | \(194\) |
| C. | \(288\) |
| D. | \(312\) |
Jawaban dan Analisis
Jawaban: C
Langkah 1 (selisih berurutan):
\(24-15=9\), \(35-24=11\), \(48-35=13\), \(63-48=15\).
Selisihnya membentuk barisan ganjil: \(9,11,13,15,\ldots\) (naik \(2\)).
Langkah 2 (rumus selisih): Selisih dari suku ke-\(n\) ke suku ke-\((n+1)\) adalah \(d_n=9+2(n-1)=2n+7\).
Langkah 3 (jumlahkan selisih sampai suku ke-\(14\)):
\(U_{14}=U_1+\sum_{k=1}^{13}(2k+7)\).
\(\sum_{k=1}^{13}(2k+7)=2\sum_{k=1}^{13}k+7\cdot 13=2\cdot \frac{13\cdot 14}{2}+91=13\cdot 14+91=182+91=273\).
Maka \(U_{14}=15+273=288\).
Analisis opsi:
A. \(185\) terlalu kecil karena \(U_{14}\) harus jauh lebih besar dari \(63\) dan \(14\gt 5\).
B. \(194\) juga terlalu kecil dibanding hasil penjumlahan selisih yang benar.
C. \(288\) sesuai hasil perhitungan, benar.
D. \(312\) terlalu besar; hasil tepatnya \(288\).