Jawaban: A

Ide kunci: Pada gambar, \(AD\) sejajar \(BC\) dan garis \(AC\) berpotongan dengan \(DB\) di titik \(E\). Maka \(\triangle AED\) sebangun dengan \(\triangle CEB\).

Alasan kesebangunan:

1) \(\angle AED\) sama dengan \(\angle CEB\) (sudut bertolak belakang di titik \(E\)).

2) \(\angle DAE\) sama dengan \(\angle ECB\) karena \(AD\parallel BC\) dan \(AE\) segaris dengan \(CE\).

Karena dua sudut bersesuaian sama, maka \(\triangle AED \sim \triangle CEB\).

Perbandingan sisi bersesuaian: Dari korespondensi \(A\leftrightarrow C\), \(D\leftrightarrow B\), \(E\leftrightarrow E\), diperoleh \(\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BC}\). Ini tepat sama dengan opsi A.

Analisis opsi:

A. \(\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BC}\) sesuai langsung dari kesebangunan, sehingga benar.

B. \(\frac{AE}{AC}\) melibatkan \(AC\) (bukan sisi yang bersesuaian dengan \(AE\) pada segitiga pembanding), sehingga tidak tepat untuk rasio kesebangunan ini.

C. Rasio \(\frac{DE}{EC}\) mencampur sisi yang tidak bersesuaian (karena \(DE\) bersesuaian dengan \(EB\), bukan dengan \(EC\)).

D. \(\frac{BC}{AD}\) memang kebalikan dari \(\frac{AD}{BC}\), tetapi \(\frac{AC}{AE}\) bukan kebalikan dari \(\frac{AE}{EC}\); jadi tidak konsisten.

Jawaban: D

Langkah 1: Karena \(\angle A+\angle B=180^\circ\), maka \((2x+30)^\circ+(5x+10)^\circ=180^\circ\).

Langkah 2: \(2x+30+5x+10=180\Rightarrow 7x+40=180\Rightarrow 7x=140\Rightarrow x=20\).

Langkah 3: \(\angle B=(5x+10)^\circ=(5\cdot 20+10)^\circ=110^\circ\).

Catatan cek cepat: Nilai \(\angle B=110^\circ\) memenuhi \(\angle B\gt 90^\circ\) dan \(\angle A=70^\circ\) sehingga \(70^\circ+110^\circ=180^\circ\) sesuai syarat.

Jawaban: D

Ide kunci: Melukis garis bagi sudut di titik \(M\) dilakukan dengan: membuat busur dari \(M\), lalu membuat dua busur dari dua titik potong busur itu pada sisi-sisi sudut, kemudian menarik garis bagi melalui titik potong busur-busur tersebut hingga memotong \(KL\).

Makna nomor pada gambar:

- Tanda \(3\): busur pertama berpusat di \(M\) untuk memotong kedua kaki sudut.

- Tanda \(2\) dan \(1\): busur-busur dari dua titik potong pada kaki sudut (urutan \(2\) lalu \(1\) atau sebaliknya menghasilkan langkah yang setara, namun opsi yang cocok di pilihan adalah \(3,2,1\)).

- Tanda \(4\): garis bagi ditarik dan memotong \(KL\) di titik tersebut (hasil akhir), sehingga \(4\) harus terakhir.

Analisis opsi singkat:

A. Menempatkan \(4\) di awal, padahal \(4\) adalah hasil akhir (titik potong garis bagi dengan \(KL\)).

B. Meletakkan \(3\) setelah \(1\), padahal busur berpusat \(M\) harus dibuat lebih dulu agar titik acuan pada kaki sudut ada.

C. Meletakkan \(4\) sebelum langkah \(2\), padahal garis bagi baru bisa ditarik setelah kedua busur dalam terbentuk.

D. Urutannya menempatkan busur \(3\) lebih dulu, lalu busur dari dua titik kaki sudut (\(2\) dan \(1\)), dan terakhir hasil garis bagi di \(4\), sehingga paling sesuai.

Jawaban: C

Langkah 1 (rumus busur): Panjang busur \(s=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi r\), dengan \(\theta\lt 360^\circ\).

Langkah 2 (substitusi): \(s=\frac{72}{360}\cdot 2\pi\cdot 14=\frac{1}{5}\cdot 28\pi=\frac{28\pi}{5}\).

Langkah 3 (aproksimasi): Dengan \(\pi\approx 3{,}14\), diperoleh \(s\approx \frac{28\cdot 3{,}14}{5}=\frac{87{,}92}{5}=17{,}584\) cm \(\approx 17{,}6\) cm.

Analisis opsi:

A. \(16{,}6\) cm terlalu kecil dibanding hasil \(\approx 17{,}6\) cm.

B. \(16{,}8\) cm juga masih lebih kecil dari \(\approx 17{,}6\) cm.

C. \(17{,}6\) cm sesuai pembulatan dari \(17{,}584\) cm, sehingga benar.

D. \(17{,}8\) cm terlalu besar dibanding hasil \(\approx 17{,}6\) cm.

Jawaban: A

Analisis: Untuk dua lingkaran berjari-jari \( r_1 \) dan \( r_2 \), panjang garis singgung persekutuan dalam \( L \) memenuhi:

\( L^2 = d^2 - (r_1 + r_2)^2 \), dengan \( d \gt (r_1+r_2) \).

Diketahui \( r_1 = 8 \), \( r_2 = 4 \), sehingga \( r_1+r_2 = 12 \), dan \( L = 16 \).

\( 16^2 = d^2 - 12^2 \Rightarrow 256 = d^2 - 144 \Rightarrow d^2 = 400 \Rightarrow d = 20 \).

Ulasan opsi:

A benar karena \( d = 20 \).

B salah, sebab jika \( d=25 \), maka \( L=\sqrt{25^2-12^2}=\sqrt{625-144}=\sqrt{481} \neq 16 \).

C salah, sebab jika \( d=30 \), maka \( L=\sqrt{30^2-12^2}=\sqrt{900-144}=\sqrt{756} \neq 16 \).

D salah, sebab jika \( d=36 \), maka \( L=\sqrt{36^2-12^2}=\sqrt{1296-144}=\sqrt{1152} \neq 16 \).