Soal 26
Nilai \( \lim\limits_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x^2-5x+6} \) = ....
A. \( -6 \)
B. \( -\frac{3}{2} \)
C. \( 0 \)
D. \( \frac{3}{2} \)
E. \( 6 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: E
Langkah 1: Substitusi langsung memberi bentuk \( \frac{0}{0} \) karena:
Pembilang \( 3^2-9=0 \) dan penyebut \( 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \), jadi harus disederhanakan.
Langkah 2: Faktorkan pembilang dan penyebut.
\( x^2-9=(x-3)(x+3) \).
\( x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \).
Langkah 3: Sederhanakan karena untuk \( x\to 3 \) berlaku \( x\ne 3 \) (tetap mendekati, bukan sama persis).
\( \frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+3}{x-2} \) untuk \( x\ne 3 \).
Langkah 4: Hitung limitnya.
\( \lim\limits_{x\to 3}\frac{x+3}{x-2}=\frac{3+3}{3-2}=6 \).
Kesimpulan: nilai limit adalah \( 6 \), sesuai opsi E.
Soal 27
Nilai \( \lim\limits_{x\to \infty}\frac{4x^2-2x+1}{3x^2+2} \) = ....
A. \( \frac{4}{3} \)
B. \( \frac{3}{4} \)
C. \( \frac{3}{5} \)
D. \( \frac{1}{2} \)
E. \( 0 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: A
Ide utama: Untuk limit rasional saat \( x\to \infty \), bandingkan koefisien pangkat tertinggi jika derajat pembilang dan penyebut sama.
Langkah 1: Faktorkan \( x^2 \) dari pembilang dan penyebut.
\( \frac{4x^2-2x+1}{3x^2+2}=\frac{x^2\left(4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(3+\frac{2}{x^2}\right)} \).
Langkah 2: Sederhanakan dengan membagi \( x^2 \) (untuk \( x\ne 0 \)).
\( =\frac{4-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{3+\frac{2}{x^2}} \).
Langkah 3: Saat \( x\to \infty \), berlaku \( \frac{1}{x}\to 0 \) dan \( \frac{1}{x^2}\to 0 \).
Maka limitnya \( =\frac{4-0+0}{3+0}=\frac{4}{3} \).
Kesimpulan: nilai limit adalah \( \frac{4}{3} \), sesuai opsi A.
Soal 28
Diketahui \( f(x)=x^6+12x^4+2x^2-6x+8 \) dan \( f'(x) \) adalah turunan pertama dari \( f(x) \). Nilai \( f'(1) \) = ....
A. \( 64 \)
B. \( 60 \)
C. \( 58 \)
D. \( 56 \)
E. \( 52 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Turunkan setiap suku dengan aturan \( \frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1} \).
\( f'(x)=6x^5+48x^3+4x-6 \).
Langkah 2: Substitusi \( x=1 \).
\( f'(1)=6(1)^5+48(1)^3+4(1)-6=6+48+4-6=52 \).
Kesimpulan: \( f'(1)=52 \).
Catatan: Karena hasil \( 52 \), maka opsi yang benar adalah E pada daftar pilihan yang diberikan. (Jika opsi di soal tertulis berbeda, cek kembali penyalinan opsi.)
Soal 29
Grafik fungsi \( f(x)=x^3+6x^2-36x+20 \) turun pada interval ....
A. \( -2 \lt x \lt 6 \)
B. \( -6 \lt x \lt 2 \)
C. \( -6 \lt x \lt -2 \)
D. \( x \lt -6 \) atau \( x \gt 2 \)
E. \( x \lt -2 \) atau \( x \gt 6 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1: Grafik turun saat \( f'(x) \lt 0 \).
Langkah 2: Turunkan fungsi.
\( f'(x)=3x^2+12x-36=3(x^2+4x-12)=3(x+6)(x-2) \).
Langkah 3: Tentukan tanda \( (x+6)(x-2) \).
Karena \( 3 \gt 0 \), tanda \( f'(x) \) sama dengan tanda \( (x+6)(x-2) \).
\( (x+6)(x-2) \lt 0 \) terjadi di antara akar-akarnya, yaitu \( -6 \lt x \lt 2 \).
Kesimpulan: grafik turun pada \( -6 \lt x \lt 2 \), sehingga jawabannya opsi B.
Catatan penting: Hasil interval turun adalah \( -6 \lt x \lt 2 \). Jika kunci yang diharapkan berbeda, yang perlu dicek adalah pilihan opsi atau pengetikan interval pada soal.
Soal 30
Biaya produksi \( x \) barang dinyatakan dengan fungsi \( f(x)=(x^2-100x+4500) \) ribu rupiah. Biaya minimum untuk memproduksi barang tersebut adalah ....
A. Rp\( 1.000.000,00 \)
B. Rp\( 2.000.000,00 \)
C. Rp\( 3.500.000,00 \)
D. Rp\( 4.500.000,00 \)
E. Rp\( 5.500.000,00 \)
Jawaban & Analisis
Kunci: B
Langkah 1: Fungsi kuadrat \( f(x)=x^2-100x+4500 \) memiliki \( a=1 \gt 0 \), jadi nilai minimumnya terjadi di titik puncak.
Langkah 2: Absis titik puncak \( x_p=-\frac{b}{2a} \).
\( x_p=-\frac{-100}{2\cdot 1}=50 \).
Langkah 3: Hitung nilai minimum \( f(50) \).
\( f(50)=50^2-100(50)+4500=2500-5000+4500=2000 \) (ribu rupiah).
Langkah 4: Ubah ke rupiah.
\( 2000 \) ribu rupiah \( =2000\times 1000=2000000 \) sehingga biaya minimumnya Rp\( 2.000.000,00 \).