Soal 1
Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan \( (p \land q)\Rightarrow \neg p \), pada tabel berikut adalah ....
| \( p \) | \( q \) | \( (p \land q)\Rightarrow \neg p \) |
| B | B | .... |
| B | S | .... |
| S | B | .... |
| S | S | .... |
A. S B S B
B. S S S B
C. S S B B
D. S B B B
E. B B B B
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Konsep: Implikasi \( A\Rightarrow B \) bernilai salah hanya saat \( A \) benar dan \( B \) salah. Pada kondisi lain, implikasi bernilai benar. (Sebagai pengingat simbol, \( 0 \lt 1 \) dan \( 1 \gt 0 \).)
Baris 1: \( p \) benar dan \( q \) benar, maka \( (p \land q) \) benar, sedangkan \( \neg p \) salah. Jadi \( (p \land q)\Rightarrow \neg p \) salah \(\Rightarrow\) S.
Baris 2: \( p \) benar dan \( q \) salah, maka \( (p \land q) \) salah, \( \neg p \) salah. Implikasi dengan premis salah selalu benar \(\Rightarrow\) B.
Baris 3: \( p \) salah dan \( q \) benar, maka \( (p \land q) \) salah, \( \neg p \) benar. Premis salah \(\Rightarrow\) implikasi benar \(\Rightarrow\) B.
Baris 4: \( p \) salah dan \( q \) salah, maka \( (p \land q) \) salah, \( \neg p \) benar. Premis salah \(\Rightarrow\) implikasi benar \(\Rightarrow\) B.
Urutan: S B B B, sesuai opsi D.
Soal 2
Negasi dari pernyataan “Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia mempunyai kartu pelajar.” adalah ....
A. Jika Ali bukan seorang pelajar SMA, maka ia tidak mempunyai kartu pelajar.
B. Jika Ali mempunyai kartu pelajar, maka ia seorang pelajar SMA.
C. Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia tidak mempunyai kartu pelajar.
D. Ali seorang pelajar SMA dan ia tidak mempunyai kartu pelajar.
E. Ali seorang pelajar SMA atau ia tidak mempunyai kartu pelajar.
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (bentuk logika): Misalkan \( p \): “Ali pelajar SMA” dan \( q \): “Ali punya kartu pelajar”. Pernyataan pada soal adalah \( p\Rightarrow q \).
Langkah 2 (negasi implikasi): Negasi dari \( p\Rightarrow q \) adalah \( p \land \neg q \) (bukan “jika... maka...”, tetapi “terjadi \( p \) dan \( q \) tidak terjadi”).
Terjemahan: \( p \land \neg q \) berarti “Ali seorang pelajar SMA dan ia tidak mempunyai kartu pelajar”, yaitu opsi D.
Soal 3
Diketahui premis-premis:
Premis \( 1 \): Jika guru matematika tidak datang maka semua siswa senang.
Premis \( 2 \): Ada siswa yang tidak senang.
Kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas adalah ....
A. Guru matematika tidak datang.
B. Semua siswa senang.
C. Guru matematika senang.
D. Guru matematika datang.
E. Ada siswa yang tidak senang.
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (bentuk logika): Misalkan \( p \): “guru matematika tidak datang” dan \( q \): “semua siswa senang”. Premis \( 1 \) adalah \( p\Rightarrow q \).
Langkah 2 (makna premis 2): “Ada siswa yang tidak senang” berarti tidak benar bahwa semua siswa senang, yaitu \( \neg q \).
Langkah 3 (modus tollens): Dari \( p\Rightarrow q \) dan \( \neg q \), diperoleh \( \neg p \).
Terjemahan \( \neg p \): Jika \( p \) adalah “guru matematika tidak datang”, maka \( \neg p \) adalah “guru matematika datang”. Jadi kesimpulan yang sah adalah opsi D.
Catatan: Opsi E hanyalah pengulangan premis \( 2 \), sedangkan yang diminta adalah kesimpulan baru yang dapat diturunkan dari kedua premis.
Soal 4
Bentuk sederhana dari \( \frac{3^2x^4y^{-2}}{6^3x^2y^{-3}} \) adalah ....
A. \( \frac{1}{2}x^2y \)
B. \( \frac{1}{18}x^2y \)
C. \( \frac{1}{18}x^6y \)
D. \( \frac{1}{24}x^2y \)
E. \( \frac{1}{24}x^6y \)
Jawaban & Analisis
Kunci: D
Langkah 1 (angka): \( 3^2=9 \) dan \( 6^3=216 \), sehingga koefisiennya \( \frac{9}{216}=\frac{1}{24} \).
Langkah 2 (pangkat \( x \)): \( \frac{x^4}{x^2}=x^{4-2}=x^2 \).
Langkah 3 (pangkat \( y \)): \( \frac{y^{-2}}{y^{-3}}=y^{-2-(-3)}=y^1=y \).
Hasil akhir: \( \frac{3^2x^4y^{-2}}{6^3x^2y^{-3}}=\frac{1}{24}x^2y \), sesuai opsi D.
Soal 5
Hasil dari \( (2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{6}) \) = ....
A. \( 2(1-\sqrt{2}) \)
B. \( 2(2-\sqrt{2}) \)
C. \( 2(\sqrt{3}-1) \)
D. \( 3(\sqrt{3}-1) \)
E. \( 4(2\sqrt{3}+1) \)
Jawaban & Analisis
Kunci: C
Langkah 1 (kembangkan):
\( (2\sqrt{2}-\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{6})=(2\sqrt{2})(\sqrt{2})+(2\sqrt{2})(\sqrt{6})-(\sqrt{6})(\sqrt{2})-(\sqrt{6})(\sqrt{6}) \).
Langkah 2 (hitung tiap suku):
\( (2\sqrt{2})(\sqrt{2})=2\cdot 2=4 \).
\( (2\sqrt{2})(\sqrt{6})=2\sqrt{12}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3} \).
\( (\sqrt{6})(\sqrt{2})=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \).
\( (\sqrt{6})(\sqrt{6})=6 \).
Langkah 3 (jumlahkan):
\( 4+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}-6=-2+2\sqrt{3}=2(\sqrt{3}-1) \).
Kesimpulan: hasilnya \( 2(\sqrt{3}-1) \), sesuai opsi C.