Mode Disiplin
02:00
Target: ≤ 60 detik per soal.
prediksi penalaran matematika lingkaran
Soal Lintasan Lari
No 1
Dalam perlombaan lari \( 400 \) meter, lintasan terdiri dari dua bagian lurus dan dua bagian tikungan berbentuk setengah lingkaran.
Dua orang pelari, Andi dan Budi, berlari pada lintasan yang berbeda. Andi berada di lintasan 1 (paling dalam) dan Budi di lintasan 2.
Jari-jari tikungan dalam adalah \( r_1 = 30 \) meter. Lebar tiap lintasan adalah ( 2 ) meter.
Agar saat melewati satu tikungan (setengah lingkaran) jarak yang ditempuh sama adil, berapakah selisih panjang busur yang harus diberikan sebagai kompensasi posisi start Budi?
Gunakan \( \pi \approx 3,14 \).
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Karena yang berbeda hanya bagian tikungan, maka kita cukup menghitung selisih panjang busur setengah lingkaran pada lintasan 1 dan lintasan 2.
Rumus panjang busur satu lingkaran penuh adalah:
\( K = 2\pi r \)
Karena tikungan berbentuk setengah lingkaran, maka panjang busurnya:
\( L = \frac{1}{2} \times 2\pi r \)
\( L = \pi r \)
Jari-jari lintasan 1:
\( r_1 = 30 \)
Jari-jari lintasan 2:
\( r_2 = 30 + 2 \)
\( r_2 = 32 \)
Panjang busur lintasan 1:
\( L_1 = \pi r_1 \)
\( L_1 = 3,14 \times 30 \)
\( L_1 = 94,2 \)
Panjang busur lintasan 2:
\( L_2 = \pi r_2 \)
\( L_2 = 3,14 \times 32 \)
\( L_2 = 100,48 \)
Selisih panjang busur:
\( \Delta L = L_2 - L_1 \)
\( \Delta L = 100,48 - 94,2 \)
\( \Delta L = 6,28 \)
Jadi, kompensasi posisi start yang harus diberikan kepada Budi adalah sebesar:
\( 6,28 \) meter
Secara konsep SMA, ini berasal dari perbedaan jari-jari yang menyebabkan panjang busur berbeda.
Karena \( r_2 \gt r_1 \), maka otomatis \( L_2 \gt L_1 \).
Soal Gerhana Matahari (Irisan Dua Lingkaran)
No 2
Soal Sudut Pandang pada Lingkaran
Sebuah stadion berbentuk lingkaran. Sebuah layar lebar dipasang sepanjang busur lingkaran dengan sudut pusat sebesar \( 40^\circ \).
Seorang penonton duduk tepat di tepi stadion (pada keliling lingkaran).
Tentukan besar sudut pandang penonton tersebut terhadap kedua ujung layar.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Konsep yang digunakan adalah sudut keliling pada lingkaran.
Teorema SMA menyatakan:
Sudut keliling yang menghadap busur tertentu besarnya setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
Rumus:
\( \text{Sudut Keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut Pusat} \)
Diketahui sudut pusat layar:
\( 40^\circ \)
Maka sudut pandang penonton:
\( = \frac{1}{2} \times 40^\circ \)
\( = 20^\circ \)
Jadi sudut pandang penonton terhadap kedua ujung layar adalah:
\( 20^\circ \)
Karena sudut pusat \( 40^\circ \gt 0^\circ \), maka sudut keliling selalu setengahnya.
No 3
Sebuah sabuk (rantai) menghubungkan dua roda gigi pada sebuah mesin. Dua roda gigi tersebut memiliki jari-jari masing-masing \( 15 \) cm dan \( 5 \) cm. Jarak antara pusat kedua roda gigi adalah \( 20 \) cm.
Jika sabuk melilit kedua roda secara persekutuan luar (sabuk tidak menyilang), tentukan panjang minimum sabuk yang dibutuhkan.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Diketahui:
\( r_1 = 15 \)
\( r_2 = 5 \)
\( d = 20 \)
Karena sabuk persekutuan luar, maka panjang sabuk terdiri dari:
1. Dua ruas garis singgung persekutuan luar
2. Busur pada roda besar
3. Busur pada roda kecil
Langkah 1: Hitung panjang garis singgung persekutuan luar.
Rumus SMA:
\( t = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2} \)
Substitusi:
\( t = \sqrt{20^2 - (15 - 5)^2} \)
\( t = \sqrt{400 - 100} \)
\( t = \sqrt{300} \)
\( t = 10\sqrt{3} \)
Karena ada dua ruas garis singgung:
\( 2t = 20\sqrt{3} \)
Langkah 2: Tentukan sudut lilitan.
Sudut \( \theta \) memenuhi:
\( \sin\theta = \frac{r_1 - r_2}{d} \)
\( \sin\theta = \frac{10}{20} \)
\( \sin\theta = \frac{1}{2} \)
Maka:
\( \theta = 30^\circ \)
Dalam radian:
\( 30^\circ = \frac{\pi}{6} \)
Sudut kontak roda besar:
\( \alpha_1 = \pi + 2\theta \)
\( \alpha_1 = \pi + \frac{\pi}{3} \)
\( \alpha_1 = \frac{4\pi}{3} \)
Sudut kontak roda kecil:
\( \alpha_2 = \pi - 2\theta \)
\( \alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{3} \)
\( \alpha_2 = \frac{2\pi}{3} \)
Langkah 3: Hitung panjang busur.
Rumus panjang busur:
\( L = r\theta \)
Busur roda besar:
\( L_1 = 15 \times \frac{4\pi}{3} \)
\( L_1 = 20\pi \)
Busur roda kecil:
\( L_2 = 5 \times \frac{2\pi}{3} \)
\( L_2 = \frac{10\pi}{3} \)
Langkah 4: Total panjang sabuk.
\( L_{total} = 20\sqrt{3} + 20\pi + \frac{10\pi}{3} \)
Samakan bentuk:
\( 20\pi = \frac{60\pi}{3} \)
\( L_{total} = 20\sqrt{3} + \frac{70\pi}{3} \)
Pendekatan numerik:
\( 20\sqrt{3} \approx 34,64 \)
\( \frac{70\pi}{3} \approx 73,30 \)
\( L_{total} \approx 34,64 + 73,30 \)
\( L_{total} \approx 107,94 \)
Jadi panjang minimum sabuk yang dibutuhkan adalah sekitar:
\( 107,94 \) cm
Karena \( r_1 \gt r_2 \) dan sabuk tidak menyilang, maka digunakan rumus garis singgung persekutuan luar.
No 4
Soal Lintasan Atletik (Selisih Panjang Satu Putaran)
Sebuah lintasan atletik memiliki dua bagian lurus masing-masing sepanjang \( 100 \) m dan dua bagian tikungan berbentuk setengah lingkaran.
Jari-jari lintasan terdalam adalah ( 36 ) m. Lebar setiap lintasan adalah ( 1,2 ) m.
Tentukan selisih panjang total satu putaran antara pelari di lintasan 1 (paling dalam) dan pelari di lintasan 2.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Bagian yang berbeda hanya pada tikungan, karena bagian lurus sama panjang untuk setiap lintasan.
Diketahui:
\( r_1 = 36 \)
Lebar lintasan \( = 1,2 \)
Maka:
\( r_2 = 36 + 1,2 \)
\( r_2 = 37,2 \)
Dua tikungan setengah lingkaran jika digabung menjadi satu lingkaran penuh.
Rumus keliling lingkaran:
\( K = 2\pi r \)
Panjang tikungan lintasan 1:
\( K_1 = 2\pi(36) \)
\( K_1 = 72\pi \)
Panjang tikungan lintasan 2:
\( K_2 = 2\pi(37,2) \)
\( K_2 = 74,4\pi \)
Selisih panjang tikungan:
\( \Delta K = K_2 - K_1 \)
\( \Delta K = 74,4\pi - 72\pi \)
\( \Delta K = 2,4\pi \)
Pendekatan numerik:
\( \pi \approx 3,14 \)
\( \Delta K = 2,4 \times 3,14 \)
\( \Delta K = 7,536 \)
Jadi selisih panjang total satu putaran antara lintasan 1 dan lintasan 2 adalah sekitar:
\( 7,54 \) meter
Karena \( r_2 \gt r_1 \), maka otomatis \( K_2 \gt K_1 \), sehingga lintasan 2 lebih panjang.
No 5
Soal Roda dan Busur Jembatan
Sebuah roda dengan jari-jari \( 30 \) cm melintasi sebuah jembatan yang melengkung. Busur jembatan tersebut merupakan bagian dari lingkaran besar dengan jari-jari \( 10 \) meter dan sudut pusat \( 60^\circ \).
Tentukan berapa kali roda tersebut berputar penuh ketika menyeberangi jembatan.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Samakan satuan terlebih dahulu.
Jari-jari lingkaran besar:
\( 10 \) meter \( = 1000 \) cm
Langkah 2: Hitung panjang busur jembatan.
Rumus panjang busur (materi SMA):
\( L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
Substitusi:
\( L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi(1000) \)
\( L = \frac{1}{6} \times 2000\pi \)
\( L = \frac{2000\pi}{6} \)
\( L = \frac{1000\pi}{3} \)
Langkah 3: Hitung keliling roda.
Rumus keliling lingkaran:
\( K = 2\pi r \)
\( K = 2\pi(30) \)
\( K = 60\pi \)
Langkah 4: Tentukan banyak putaran.
Banyak putaran \( = \frac{\text{panjang lintasan}}{\text{keliling roda}} \)
\( n = \frac{\frac{1000\pi}{3}}{60\pi} \)
Sederhanakan:
\( n = \frac{1000}{3 \times 60} \)
\( n = \frac{1000}{180} \)
\( n = \frac{50}{9} \)
\( n \approx 5,56 \)
Jadi roda tersebut berputar sekitar:
\( 5,56 \) kali
Karena panjang busur \( \gt \) keliling roda, maka roda berputar lebih dari satu kali.
No 6
Soal Irisan Dua Lingkaran
Dua buah cakram (lingkaran) memiliki jari-jari \( 14 \) cm. Lingkaran tersebut diletakkan sedemikian rupa sehingga pusat lingkaran pertama tepat berada pada keliling lingkaran kedua.
Hitunglah luas daerah irisan (tumpang tindih) kedua lingkaran tersebut.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Diketahui:
\( r = 14 \)
Karena pusat lingkaran pertama berada pada keliling lingkaran kedua, maka jarak antar pusat:
\( d = r \)
\( d = 14 \)
Karena:
\( d \lt 2r \)
\( 14 \lt 28 \)
Maka kedua lingkaran saling beririsan.
Rumus luas irisan dua lingkaran identik (materi SMA):
\( L = 2r^2 \cos^{-1}\left(\frac{d}{2r}\right) - \frac{d}{2}\sqrt{4r^2 - d^2} \)
Substitusi \( r = 14 \) dan \( d = 14 \):
\( L = 2(14)^2 \cos^{-1}\left(\frac{14}{28}\right) - \frac{14}{2}\sqrt{4(14)^2 - (14)^2} \)
\( L = 392 \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - 7\sqrt{784 - 196} \)
Diketahui:
\( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \)
Dalam radian:
\( 60^\circ = \frac{\pi}{3} \)
Maka:
\( L = 392\left(\frac{\pi}{3}\right) - 7\sqrt{588} \)
\( \sqrt{588} = 14\sqrt{3} \)
Sehingga:
\( L = \frac{392\pi}{3} - 7(14\sqrt{3}) \)
\( L = \frac{392\pi}{3} - 98\sqrt{3} \)
Pendekatan numerik:
\( \frac{392(3,14)}{3} \approx 410,03 \)
\( 98\sqrt{3} \approx 169,74 \)
\( L \approx 410,03 - 169,74 \)
\( L \approx 240,29 \)
Jadi luas daerah irisan kedua lingkaran adalah sekitar:
\( 240,29 \) cm\(^2\)
Karena \( d \gt 0 \) dan \( d \lt 2r \), maka terjadi irisan sebagian (bukan terpisah dan bukan saling menutupi penuh).
No 7
Soal Irisan Sinyal Dua Menara Wi-Fi
Dua menara Wi-Fi, A dan B, memiliki jangkauan sinyal berbentuk lingkaran dengan radius \( R = 20 \) m.
Jarak antara menara A dan B adalah \( 20\sqrt{2} \) m.
Tentukan luas daerah yang mendapatkan sinyal dari kedua menara tersebut sekaligus.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Diketahui:
\( r = 20 \)
\( d = 20\sqrt{2} \)
Karena:
\( d \lt 2r \)
\( 20\sqrt{2} \lt 40 \)
Maka kedua lingkaran saling beririsan.
Rumus luas irisan dua lingkaran identik (materi SMA):
\( L = 2r^2 \cos^{-1}\left(\frac{d}{2r}\right) - \frac{d}{2}\sqrt{4r^2 - d^2} \)
Substitusi:
\( L = 2(20)^2 \cos^{-1}\left(\frac{20\sqrt{2}}{40}\right) - \frac{20\sqrt{2}}{2}\sqrt{4(20)^2 - (20\sqrt{2})^2} \)
Sederhanakan bagian dalam:
\( \frac{20\sqrt{2}}{40} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Diketahui dalam trigonometri SMA:
\( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \)
Dalam radian:
\( 45^\circ = \frac{\pi}{4} \)
Bagian akar:
\( 4(20)^2 = 1600 \)
\( (20\sqrt{2})^2 = 800 \)
\( \sqrt{1600 - 800} = \sqrt{800} \)
\( \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \)
Sehingga:
\( L = 800\left(\frac{\pi}{4}\right) - 10\sqrt{2}(20\sqrt{2}) \)
\( L = 200\pi - 400 \)
Pendekatan numerik:
\( \pi \approx 3,14 \)
\( 200(3,14) = 628 \)
\( L \approx 628 - 400 \)
\( L \approx 228 \)
Jadi luas daerah yang mendapat sinyal dari kedua menara sekaligus adalah:
\( 228 \) m\(^2\)
Karena \( 0 \lt d \lt 2r \), maka irisan terjadi sebagian (tidak terpisah dan tidak menutupi penuh).
No 8
Soal Sabuk pada Dua Roda Mesin
Dua roda mesin masing-masing memiliki jari-jari \( 10 \) cm dan \( 2 \) cm.
Jarak antara pusat kedua roda adalah ( 16 ) cm.
Sebuah sabuk karet melilit kedua roda tersebut tanpa menyilang (persekutuan luar).
Tentukan panjang total sabuk tersebut.
Gunakan \( \pi = 3,14 \) dan \( \sqrt{3} = 1,73 \) jika diperlukan.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Diketahui:
\( r_1 = 10 \)
\( r_2 = 2 \)
\( d = 16 \)
Karena sabuk tidak menyilang dan \( r_1 \gt r_2 \), maka digunakan rumus persekutuan luar.
Langkah 1: Hitung panjang garis singgung persekutuan luar.
Rumus SMA:
\( t = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2} \)
Substitusi:
\( t = \sqrt{16^2 - (10 - 2)^2} \)
\( t = \sqrt{256 - 64} \)
\( t = \sqrt{192} \)
\( t = 8\sqrt{3} \)
Karena ada dua ruas garis singgung:
\( 2t = 16\sqrt{3} \)
Langkah 2: Tentukan sudut kontak.
Rumus:
\( \sin\theta = \frac{r_1 - r_2}{d} \)
\( \sin\theta = \frac{8}{16} \)
\( \sin\theta = \frac{1}{2} \)
Maka:
\( \theta = 30^\circ \)
Dalam radian:
\( 30^\circ = \frac{\pi}{6} \)
Sudut kontak roda besar:
\( \alpha_1 = \pi + 2\theta \)
\( \alpha_1 = \pi + \frac{\pi}{3} \)
\( \alpha_1 = \frac{4\pi}{3} \)
Sudut kontak roda kecil:
\( \alpha_2 = \pi - 2\theta \)
\( \alpha_2 = \pi - \frac{\pi}{3} \)
\( \alpha_2 = \frac{2\pi}{3} \)
Langkah 3: Hitung panjang busur.
Rumus panjang busur:
\( L = r\theta \)
Busur roda besar:
\( L_1 = 10 \times \frac{4\pi}{3} \)
\( L_1 = \frac{40\pi}{3} \)
Busur roda kecil:
\( L_2 = 2 \times \frac{2\pi}{3} \)
\( L_2 = \frac{4\pi}{3} \)
Langkah 4: Total panjang sabuk.
\( L_{total} = 16\sqrt{3} + \frac{40\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} \)
\( L_{total} = 16\sqrt{3} + \frac{44\pi}{3} \)
Pendekatan numerik:
\( 16\sqrt{3} = 16(1,73) = 27,68 \)
\( \frac{44\pi}{3} = \frac{44(3,14)}{3} \)
\( = \frac{138,16}{3} = 46,05 \)
Sehingga:
\( L_{total} = 27,68 + 46,05 \)
\( L_{total} = 73,73 \)
Jadi panjang total sabuk adalah sekitar:
\( 73,73 \) cm
Karena \( r_1 \gt r_2 \) dan sabuk tidak menyilang, maka digunakan rumus garis singgung persekutuan luar.
No 9
Soal Kawat Melilit Tiga Pipa
Tiga buah pipa air dengan diameter masing-masing \( 20 \) cm diikat menjadi satu menggunakan kawat besi. Pipa-pipa tersebut disusun rapat sehingga jika pusat ketiga pipa dihubungkan akan membentuk segitiga.
Tentukan panjang kawat minimal yang melilit ketiga pipa tersebut.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Diketahui diameter setiap pipa:
\( d = 20 \)
Maka jari-jari setiap pipa:
\( r = \frac{20}{2} \)
\( r = 10 \)
Karena pipa disusun rapat (saling bersinggungan), maka jarak antara pusat dua pipa yang berdekatan adalah:
\( 2r = 20 \)
Jika pusat ketiga pipa dihubungkan, terbentuk segitiga sama sisi dengan sisi:
\( s = 20 \)
Kawat minimal yang melilit ketiga pipa dapat dipahami sebagai:
keliling segitiga pusat + tambahan lengkung di sudut-sudut.
Untuk susunan rapat tiga lingkaran identik, kawat minimal sama dengan keliling segitiga sama sisi yang dibentuk pusat-pusatnya, lalu ditambah keliling satu lingkaran berjari-jari \( r \).
Ini karena pada setiap sudut segitiga, kawat membentuk busur yang jika dijumlahkan menjadi \( 360^\circ \) (satu lingkaran penuh).
Langkah 1: Keliling segitiga pusat.
\( K_{segitiga} = 3s \)
\( K_{segitiga} = 3(20) \)
\( K_{segitiga} = 60 \)
Langkah 2: Tambahan lengkung sama dengan keliling satu lingkaran berjari-jari \( r \).
\( K_{lingkaran} = 2\pi r \)
\( K_{lingkaran} = 2\pi(10) \)
\( K_{lingkaran} = 20\pi \)
Langkah 3: Total panjang kawat.
\( L = K_{segitiga} + K_{lingkaran} \)
\( L = 60 + 20\pi \)
Jika ingin pendekatan numerik:
\( \pi \approx 3,14 \)
\( L = 60 + 20(3,14) \)
\( L = 60 + 62,8 \)
\( L = 122,8 \)
Jadi panjang kawat minimal adalah:
\( 60 + 20\pi \) cm
atau sekitar
\( 122,8 \) cm
Karena kawat melingkupi bagian luar, maka panjangnya lebih besar daripada \( 60 \) cm (keliling segitiga pusat), yaitu ditambah lengkungan di tiga sudut yang totalnya \( 360^\circ \).
No 10
Soal Kambing di Sudut Gedung
Seekor kambing diikat pada sudut luar sebuah gedung berbentuk persegi dengan sisi \( 6 \) meter.
Panjang tali kambing adalah ( 8 ) meter.
Tentukan luas daerah maksimum yang dapat dijelajahi kambing untuk merumput.
Petunjuk: Tali akan “tertekuk” saat melewati sudut gedung sehingga membentuk juring dengan jari-jari berbeda.
Jawaban dan Analisa (Klik untuk membuka)
Langkah 1: Daerah utama di sudut tempat kambing diikat.
Karena kambing diikat di sudut luar gedung, maka daerah bebas awal berbentuk juring \( 270^\circ \) (karena \( 90^\circ \) tertutup gedung).
Rumus luas juring:
\( L = \frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2 \)
Dengan:
\( \theta = 270^\circ \)
\( r = 8 \)
\( L_1 = \frac{270^\circ}{360^\circ}\pi(8)^2 \)
\( L_1 = \frac{3}{4}\pi(64) \)
\( L_1 = 48\pi \)
Langkah 2: Saat tali melewati sudut pertama gedung.
Karena sisi gedung \( = 6 \) dan panjang tali \( = 8 \), maka sisa tali setelah melewati satu sudut:
\( 8 - 6 = 2 \)
Sisa tali ini membentuk juring \( 90^\circ \) dengan jari-jari \( 2 \).
Luas juring tambahan:
\( L_2 = \frac{90^\circ}{360^\circ}\pi(2)^2 \)
\( L_2 = \frac{1}{4}\pi(4) \)
\( L_2 = \pi \)
Langkah 3: Total luas daerah.
\( L_{total} = L_1 + L_2 \)
\( L_{total} = 48\pi + \pi \)
\( L_{total} = 49\pi \)
Pendekatan numerik:
\( \pi \approx 3,14 \)
\( L_{total} = 49(3,14) \)
\( L_{total} = 153,86 \)
Jadi luas maksimum daerah yang dapat dijelajahi kambing adalah:
\( 49\pi \) m\(^2\)
atau sekitar
\( 153,86 \) m\(^2\)
Karena panjang tali \( 8 \gt 6 \), maka tali dapat melewati satu sudut gedung dan membentuk tambahan juring kecil.
No 11
Soal
Dalam sebuah stadion berbentuk lingkaran, sebuah layar lebar dipasang sepanjang busur lingkaran yang besarnya \( 40^\circ \). Seorang penonton duduk tepat pada keliling stadion tersebut. Berapakah besar sudut pandang penonton terhadap kedua ujung layar?
Jawaban dan Analisa
Masalah ini berkaitan dengan sudut keliling dan sudut pusat pada lingkaran.
Diketahui besar busur layar adalah \( 40^\circ \). Besar busur tersebut sama dengan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut.
Rumus yang digunakan pada materi SMA adalah:
\( \text{sudut keliling} = \dfrac{1}{2} \times \text{sudut pusat} \)
Karena sudut pusat yang menghadap layar adalah \( 40^\circ \), maka sudut pandang penonton (sudut keliling) adalah:
\( \text{sudut pandang} = \dfrac{1}{2} \times 40^\circ \)
\( \text{sudut pandang} = 20^\circ \)
Jadi, besar sudut pandang penonton terhadap kedua ujung layar adalah
\( 20^\circ \)
Penjelasan sederhana: Sudut keliling yang menghadap suatu busur selalu setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama. Karena layar membentuk busur \( 40^\circ \), maka sudut yang dilihat penonton dari tepi lingkaran adalah setengahnya.