Soal 26
Nilai \( \lim_{x\to -2}\frac{5x^2+9x-2}{x+2} \) adalah ....
A. \( -11 \)
B. \( -1 \)
C. \( 0 \)
D. \( 9 \)
E. \( 11 \)
Jawaban dan Analisis
Bentuk limit saat \( x=-2 \) adalah \( \frac{5(-2)^2+9(-2)-2}{-2+2}=\frac{20-18-2}{0}=\frac{0}{0} \), sehingga perlu penyederhanaan.
Faktorkan pembilang: \( 5x^2+9x-2=(x+2)(5x-1) \), karena \( (x+2)(5x-1)=5x^2-x+10x-2=5x^2+9x-2 \).
Untuk \( x\ne -2 \), pecahan menjadi \( \frac{(x+2)(5x-1)}{x+2}=5x-1 \). Jadi limitnya sama dengan \( \lim_{x\to -2}(5x-1) \).
Substitusi \( x=-2 \) menghasilkan \( 5(-2)-1=-10-1=-11 \) dan \( -11 \lt 0 \). Jawaban: A.
Soal 27
Turunan pertama dari \( f(x)=(3x^2+1)^3 \) adalah ....
A. \( f'(x)=18x(3x^2+1)^2 \)
B. \( f'(x)=18x(3x^2+1)^3 \)
C. \( f'(x)=3x(3x^2+1)^2 \)
D. \( f'(x)=3x(3x^2+1)^3 \)
E. \( f'(x)=6x(3x^2+1)^2 \)
Jawaban dan Analisis
Gunakan aturan rantai. Misalkan \( u=3x^2+1 \), maka \( f(x)=u^3 \). Turunan \( u \) adalah \( u'=6x \).
Turunan \( u^3 \) adalah \( 3u^2\cdot u' \), sehingga \( f'(x)=3(3x^2+1)^2\cdot 6x \).
Jadi \( f'(x)=18x(3x^2+1)^2 \) dan koefisien \( 18 \gt 0 \). Jawaban: A.
Soal 28
Grafik fungsi \( f(x)=x^3+6x^2-15x-2 \) turun pada interval ....
A. \( \{x\mid x \lt -5, x\in R\} \)
B. \( \{x\mid -5 \lt x \lt 0, x\in R\} \)
C. \( \{x\mid -5 \lt x \lt 1, x\in R\} \)
D. \( \{x\mid x \lt -5 \text{ atau } x \gt 1, x\in R\} \)
E. \( \{x\mid x \gt 1, x\in R\} \)
Jawaban dan Analisis
Grafik turun saat turunan pertama negatif, yaitu \( f'(x) \lt 0 \). Hitung turunan: \( f'(x)=3x^2+12x-15 \).
Faktorkan: \( 3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)=3(x+5)(x-1) \). Karena \( 3 \gt 0 \), tanda \( f'(x) \) ditentukan oleh \( (x+5)(x-1) \).
\( f'(x) \lt 0 \) terjadi saat \( (x+5)(x-1) \lt 0 \), yaitu di antara akar-akar \( -5 \) dan \( 1 \). Maka interval turun adalah \( -5 \lt x \lt 1 \).
Jadi pilihan yang sesuai adalah \( \{x\mid -5 \lt x \lt 1, x\in R\} \). Jawaban: C.
Soal 29
Perusahaan konveksi memproduksi \( n \) unit pakaian kemeja dengan biaya total \( B(n)=10000+8000n+\frac{1}{3}n^2 \) rupiah. Pakaian kemeja dijual dengan harga \( \mathrm{Rp}\,60000{,}00 \) per unit. Agar keuntungan maksimum, pakaian kemeja harus diproduksi sebanyak ....
A. \( 12000 \) unit
B. \( 17000 \) unit
C. \( 26000 \) unit
D. \( 78000 \) unit
E. \( 104000 \) unit
Jawaban dan Analisis
Pendapatan saat menjual \( n \) unit: \( R(n)=60000n \). Keuntungan: \( K(n)=R(n)-B(n)=60000n-\left(10000+8000n+\frac{1}{3}n^2\right) \).
Sederhanakan: \( K(n)=52000n-10000-\frac{1}{3}n^2 \). Ini parabola terbuka ke bawah karena koefisien \( -\frac{1}{3} \lt 0 \), sehingga nilai maksimum terjadi di puncak parabola.
Turunan: \( K'(n)=52000-\frac{2}{3}n \). Untuk maksimum, set \( K'(n)=0 \): \( 52000-\frac{2}{3}n=0 \Rightarrow \frac{2}{3}n=52000 \Rightarrow n=52000\cdot\frac{3}{2}=78000 \).
Jadi produksi optimal \( n=78000 \) unit dan \( 78000 \gt 0 \). Jawaban: D.
Soal 30
Nilai \( \int (3x^2-4x+5)\,dx \) adalah ....
A. \( 3x^3-4x^2+5x+C \)
B. \( 3x^3-2x^2+5x+C \)
C. \( x^3-2x^2+5x+C \)
D. \( x^3-4x^2+5x+C \)
E. \( -x^3+2x^2+5x+C \)
Jawaban dan Analisis
Integralkan per suku: \( \int 3x^2\,dx=x^3 \), \( \int (-4x)\,dx=-2x^2 \), dan \( \int 5\,dx=5x \).
Jadi \( \int (3x^2-4x+5)\,dx=x^3-2x^2+5x+C \). Konstanta \( C \) bisa bernilai apa saja, dan \( 1 \gt 0 \) hanya menegaskan koefisien \( x^3 \) positif.
Jawaban: C.