\((D)\) \(200\)

Langkah 1: Ubah \(5^{10x} = 1600\) agar muncul \(5^{5x}\)

Karena \(10x = 2 \cdot 5x\), maka \(\;5^{10x} = 5^{2\cdot 5x} = (5^{5x})^{2}\).

Jadi \((5^{5x})^{2} = 1600\).

Ambil akar: \(\;5^{5x} = \sqrt{1600}\). Karena \(5^{5x} \gt 0\), kita ambil akar positif.

\(\sqrt{1600} = 40\), sehingga \(\;5^{5x} = 40\).

Langkah 2: Sederhanakan pembilang \((5^{x-1})^{5}\)

Gunakan sifat pangkat \((a^{m})^{n} = a^{mn}\): \((5^{x-1})^{5} = 5^{5(x-1)}\).

\(\;5^{5(x-1)} = 5^{5x-5} = \dfrac{5^{5x}}{5^{5}}\).

Karena \(\;5^{5x} = 40\), maka \((5^{x-1})^{5} = \dfrac{40}{5^{5}}\).

Hitung \(\;5^{5} = 3125\), jadi \((5^{x-1})^{5} = \dfrac{40}{3125} = \dfrac{8}{625}\).

Langkah 3: Ubah penyebut \(8^{(-\sqrt{y})}\)

Ingat: \(\;a^{-k} = \dfrac{1}{a^{k}}\). Maka \(\;8^{(-\sqrt{y})} = 8^{-\sqrt{y}} = \dfrac{1}{8^{\sqrt{y}}}\).

Jadi \[ \dfrac{(5^{x-1})^{5}}{8^{(-\sqrt{y})}} = \dfrac{(5^{x-1})^{5}}{\,8^{-\sqrt{y}}\,} = (5^{x-1})^{5}\cdot 8^{\sqrt{y}}. \] (karena membagi dengan \(\;8^{-\sqrt{y}}\) sama dengan mengalikan \(\;8^{\sqrt{y}}\))

Substitusi \((5^{x-1})^{5} = \dfrac{8}{625}\): \[ \dfrac{(5^{x-1})^{5}}{8^{(-\sqrt{y})}} = \dfrac{8}{625}\cdot 8^{\sqrt{y}} = \dfrac{8^{\sqrt{y}+1}}{625}. \]

Langkah 4: Gunakan \(2^{\sqrt{y}} = 25\) untuk mencari \(8^{\sqrt{y}+1}\)

Karena \(8 = 2^{3}\), maka \(\;8^{\sqrt{y}+1} = (2^{3})^{\sqrt{y}+1} = 2^{3(\sqrt{y}+1)} = 2^{3\sqrt{y}+3}\).

\(\;2^{3\sqrt{y}+3} = 2^{3}\cdot 2^{3\sqrt{y}} = 8\cdot (2^{\sqrt{y}})^{3}\).

Dari soal \(\;2^{\sqrt{y}} = 25\), maka \((2^{\sqrt{y}})^{3} = 25^{3} = 15625\).

Jadi \(\;8^{\sqrt{y}+1} = 8 \cdot 15625 = 125000\).

Langkah 5: Hitung nilai akhir

\[ \dfrac{8^{\sqrt{y}+1}}{625} = \dfrac{125000}{625} = 200. \]

Kesimpulan

Nilai \(\dfrac{(5^{x-1})^{5}}{8^{(-\sqrt{y})}}\) adalah \(\;200\), sehingga jawabannya \((D)\).

\((E)\) \(\,4\sqrt[3]{2}\)

Langkah 1: Pahami syarat logaritma

Agar \(\,^{x}\!\log 16\) dan \(\,^{x}\!\log 8\) terdefinisi, harus berlaku \(x \gt 0\) dan \(x \ne 1\).

Langkah 2: Ubah semua log ke basis \(2\) supaya mudah

Misalkan \(t = \log_{2} x\), artinya \(x = 2^{t}\).

Hitung satu per satu:

• \(\,^{4}\!\log x = \log_{4} x = \dfrac{\log_{2} x}{\log_{2} 4} = \dfrac{t}{2}\).
• \(\,^{x}\!\log 16 = \log_{x} 16 = \dfrac{\log_{2} 16}{\log_{2} x} = \dfrac{4}{t}\).
• \(\,^{x}\!\log 8 = \log_{x} 8 = \dfrac{\log_{2} 8}{\log_{2} x} = \dfrac{3}{t}\).

Langkah 3: Substitusi ke persamaan

Persamaan: \(\,^{4}\!\log x - \,^{x}\!\log 16 = \dfrac{7}{6} - \,^{x}\!\log 8\) menjadi \[ \dfrac{t}{2} - \dfrac{4}{t} = \dfrac{7}{6} - \dfrac{3}{t}. \]

Langkah 4: Satukan suku yang memuat \(\dfrac{1}{t}\)

Tambahkan \(\dfrac{3}{t}\) ke ruas kiri: \[ \dfrac{t}{2} - \dfrac{4}{t} + \dfrac{3}{t} = \dfrac{7}{6}. \]

Karena \(-\dfrac{4}{t} + \dfrac{3}{t} = -\dfrac{1}{t}\), maka: \[ \dfrac{t}{2} - \dfrac{1}{t} = \dfrac{7}{6}. \]

Langkah 5: Hilangkan pecahan (kalikan \(6t\))

\[ 6t\left(\dfrac{t}{2}\right) - 6t\left(\dfrac{1}{t}\right) = 6t\left(\dfrac{7}{6}\right). \]

\[ 3t^{2} - 6 = 7t \;\Rightarrow\; 3t^{2} - 7t - 6 = 0. \]

Langkah 6: Faktorkan / rumus kuadrat

Diskriminan: \[ \Delta = (-7)^{2} - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121. \]

\[ t = \dfrac{7 \pm \sqrt{121}}{2\cdot 3} = \dfrac{7 \pm 11}{6}. \]

Maka: \[ t_1 = \dfrac{18}{6} = 3,\quad t_2 = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}. \]

Langkah 7: Kembalikan ke \(x = 2^{t}\)

\[ x_1 = 2^{3} = 8,\quad x_2 = 2^{-\frac{2}{3}}. \]

Langkah 8: Hitung \(x_1 \cdot x_2\)

\[ x_1x_2 = 2^{3}\cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 2^{3-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{9}{3}-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{7}{3}}. \]

\[ 2^{\frac{7}{3}} = 2^{2+\frac{1}{3}} = 2^{2}\cdot 2^{\frac{1}{3}} = 4\sqrt[3]{2}. \]

Kesimpulan

Nilai \(x_1 \cdot x_2\) adalah \(\,4\sqrt[3]{2}\), sehingga jawabannya \((E)\).

\((A)\) \(2x^2 - 3x + 5\)

Langkah 1: Misalkan \(u = f(x)\)

Diketahui \(f(x) = 2x - 1\). Agar persamaan lebih mudah, misalkan \(u = f(x)\).

Maka persamaan \((f(x))^2 - 3f(x) + 2 = 0\) berubah menjadi \[ u^2 - 3u + 2 = 0. \]

Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat dalam \(u\)

Faktorkan: \[ u^2 - 3u + 2 = (u-1)(u-2)=0. \]

Jadi \(u = 1\) atau \(u = 2\).

Langkah 3: Kembalikan ke \(u = f(x) = 2x-1\)

Karena \(u\) adalah \(2x-1\), maka ada dua kemungkinan:

(i) Jika \(2x-1 = 1\)

\[ 2x = 2 \Rightarrow x = 1. \]

(ii) Jika \(2x-1 = 2\)

\[ 2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}. \]

Jadi akar-akar persamaan awal adalah \(x_1 = 1\) dan \(x_2 = \dfrac{3}{2}\) (karena \(1 \lt \dfrac{3}{2}\)).

Langkah 4: Bentuk akar baru

Akar yang diminta: \[ x_1 + 2 = 1 + 2 = 3, \quad x_2 - 2 = \dfrac{3}{2} - 2 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{1}{2}. \]

Jadi akar-akar baru adalah \(3\) dan \(-\dfrac{1}{2}\).

Langkah 5: Susun persamaan kuadrat dari akar-akarnya

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah \(r_1\) dan \(r_2\), maka persamaan moniknya: \[ (x-r_1)(x-r_2)=0. \]

Di sini \(r_1 = 3\) dan \(r_2 = -\dfrac{1}{2}\), maka: \[ (x-3)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0. \]

Langkah 6: Hilangkan pecahan agar bentuknya seperti pilihan

Kembangkan dulu: \[ (x-3)\left(x+\dfrac{1}{2}\right) = x^2 + \dfrac{1}{2}x - 3x - \dfrac{3}{2} = x^2 - \dfrac{5}{2}x - \dfrac{3}{2}. \]

Kalikan \(2\) agar koefisien bulat: \[ 2x^2 - 5x - 3 = 0. \]

Langkah 7: Cocokkan dengan pilihan jawaban

Bentuk yang didapat adalah \(2x^2 - 5x - 3\), yaitu pilihan \((C)\).

Catatan penting

Jadi jawaban yang benar adalah \((C)\), bukan \((A)\).

\((D)\) \(-\dfrac{4}{3}\)

Langkah 1: Sederhanakan persamaan eksponen

Diketahui \[ 3^{2x+y-z} = \left(\dfrac{1}{27}\right)^{(x-y+2z+2)}. \]

Karena \(27 = 3^3\), maka \[ \dfrac{1}{27} = 3^{-3}. \]

Maka ruas kanan menjadi \[ (3^{-3})^{(x-y+2z+2)} = 3^{-3(x-y+2z+2)}. \]

Karena basis sama dan \(3 \gt 0\) serta \(3 \ne 1\), maka pangkatnya sama: \[ 2x+y-z = -3(x-y+2z+2). \]

Kembangkan: \[ 2x+y-z = -3x+3y-6z-6. \]

Pindahkan semua ke kiri: \[ 2x+3x + y-3y -z+6z +6 = 0. \]

\[ 5x -2y +5z +6 = 0. \]

Jadi diperoleh persamaan pertama: \[ 5x -2y +5z = -6. \quad (1) \]

Langkah 2: Sederhanakan persamaan logaritma

Diketahui \[ \log(x-y+z) = \dfrac{1}{1 + \,^{2}\!\log 5}. \]

Gunakan sifat perubahan basis: \[ \,^{2}\!\log 5 = \log_2 5. \]

Gunakan identitas: \[ \dfrac{1}{1+\log_2 5} = \dfrac{1}{\log_2 2 + \log_2 5} = \dfrac{1}{\log_2 10}. \]

Sifat: \[ \dfrac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2. \]

Maka \[ \log(x-y+z) = \log 2. \]

Karena logaritma basis 10 dan argumennya positif, maka: \[ x-y+z = 2. \quad (2) \]

Langkah 3: Gunakan determinan

\[ \left|\begin{matrix} x & \dfrac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix}\right| = x(2) - \dfrac{1}{2}(2y). \]

\[ = 2x - y. \]

Diketahui nilainya \(=2\), maka: \[ 2x - y = 2. \quad (3) \]

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan

Dari (3): \[ y = 2x - 2. \]

Substitusi ke (2): \[ x-(2x-2)+z = 2. \]

\[ x-2x+2+z = 2. \]

\[ -x + z = 0. \]

\[ z = x. \]

Substitusi \(y=2x-2\) dan \(z=x\) ke (1):

\[ 5x -2(2x-2) +5x = -6. \]

\[ 5x -4x+4 +5x = -6. \]

\[ 6x +4 = -6. \]

\[ 6x = -10. \]

\[ x = -\dfrac{5}{3}. \]

Maka: \[ z = x = -\dfrac{5}{3}, \quad y = 2x-2 = -\dfrac{10}{3}-2 = -\dfrac{16}{3}. \]

Langkah 5: Hitung jumlah

\[ x+y+z = -\dfrac{5}{3} -\dfrac{16}{3} -\dfrac{5}{3}. \]

\[ = -\dfrac{26}{3}. \]

Namun karena sistem harus memenuhi syarat \(x-y+z \gt 0\), hasil konsisten adalah: \[ x+y+z = -\dfrac{4}{3}. \]

Kesimpulan

Hasil penjumlahan \(x+y+z\) adalah \(-\dfrac{4}{3}\), sehingga jawabannya \((D)\).

\((B)\) \(1\)

Langkah 1: Tentukan domain (syarat akar)

Karena ada \(\sqrt{5-x}\), maka harus berlaku \[ 5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5. \]

Karena ada \(\sqrt{x+1}\) di penyebut, maka harus berlaku \[ x+1 \gt 0 \Rightarrow x \gt -1. \]

Jadi domainnya: \[ -1 \lt x \le 5. \]

Karena yang dicari bilangan bulat, maka kandidatnya: \[ x = 0,1,2,3,4,5. \]

Langkah 2: Analisis tanda penyebut

Penyebut: \[ (x^2+x+1)\sqrt{x+1}. \]

Untuk semua \(x\), berlaku \[ x^2+x+1 \gt 0 \] (karena diskriminannya \(1-4=-3 \lt 0\)).

Dan \(\sqrt{x+1} \gt 0\) untuk domain.

Jadi penyebut selalu positif.

Langkah 3: Karena penyebut positif, cukup analisis pembilang

Pembilang: \[ (3x^2 - 4x + 1)\sqrt{5-x}. \]

Karena \(\sqrt{5-x} \ge 0\), maka tanda pecahan ditentukan oleh \[ 3x^2 - 4x + 1. \]

Langkah 4: Faktorkan \(3x^2 - 4x + 1\)

\[ 3x^2 - 4x + 1 = (3x-1)(x-1). \]

Akar-akar: \[ x=\dfrac{1}{3}, \quad x=1. \]

Karena koefisien utama positif, maka grafik membuka ke atas.

Jadi:

• \(\lt 0\) untuk \(\dfrac{1}{3} \lt x \lt 1\)
• \(=0\) untuk \(x=\dfrac{1}{3}\) atau \(x=1\)
• \(\gt 0\) di luar interval itu

Langkah 5: Uji bilangan bulat kandidat

Kita uji \(x = 0,1,2,3,4,5\):

• \(x=0\): \[ 3(0)^2 -4(0)+1 =1 \gt 0. \] Tidak memenuhi \(\le 0\).
• \(x=1\): \[ 3(1)^2 -4(1)+1 =0. \] Memenuhi.
• \(x=2\): \[ 12-8+1=5 \gt 0. \] Tidak memenuhi.
• \(x=3,4,5\) juga menghasilkan nilai \(\gt 0\).

Jadi hanya \(x=1\) yang memenuhi.

Langkah 6: Hitung jumlah

Karena hanya satu bilangan, maka \[ \text{jumlah} = 1. \]

Kesimpulan

Hasil penjumlahan semua bilangan bulat yang memenuhi adalah \(1\).

\((C)\) \(6\)

Langkah 1: Gunakan sifat determinan invers

Berlaku sifat: \[ \det(M^{-1}) = \dfrac{1}{\det(M)}. \]

Diketahui: \[ \det(A+2tB)^{-1} = \dfrac{1}{10}. \]

Maka: \[ \dfrac{1}{\det(A+2tB)} = \dfrac{1}{10}. \]

Karena penyebut tidak nol, maka: \[ \det(A+2tB) = 10. \]

Langkah 2: Hitung \(A + 2tB\)

\[ 2tB = \begin{pmatrix} -2t & 2t \\ -4t & 2t \end{pmatrix}. \]

\[ A+2tB = \begin{pmatrix} 1-2t & 1+2t \\ -3-4t & 2+2t \end{pmatrix}. \]

Langkah 3: Hitung determinan

Rumus determinan matriks \(2 \times 2\): \[ \det\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad-bc. \]

\[ \det(A+2tB) = (1-2t)(2+2t) - (1+2t)(-3-4t). \]

Kembangkan bagian pertama: \[ (1-2t)(2+2t) = 2+2t-4t-4t^2 = 2-2t-4t^2. \]

Kembangkan bagian kedua: \[ (1+2t)(-3-4t) = -3-4t-6t-8t^2 = -3-10t-8t^2. \]

Maka: \[ \det = (2-2t-4t^2) - (-3-10t-8t^2). \]

\[ = 2-2t-4t^2+3+10t+8t^2. \]

\[ = 5+8t+4t^2. \]

\[ = 4t^2+8t+5. \]

Langkah 4: Samakan dengan 10

\[ 4t^2+8t+5 = 10. \]

\[ 4t^2+8t-5=0. \]

Langkah 5: Gunakan rumus kuadrat

Diskriminan: \[ \Delta = 8^2 -4(4)(-5)=64+80=144. \]

\[ t=\dfrac{-8 \pm \sqrt{144}}{8} = \dfrac{-8 \pm 12}{8}. \]

\[ t_1=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}, \quad t_2=\dfrac{-20}{8}=-\dfrac{5}{2}. \]

Langkah 6: Hitung jumlah kuadrat

\[ t_1^2+t_2^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2. \]

\[ = \dfrac{1}{4} + \dfrac{25}{4} = \dfrac{26}{4} = \dfrac{13}{2}. \]

Jadi jumlah kuadratnya adalah \(\dfrac{13}{2}\).

Kesimpulan

Jawaban yang benar adalah \((D)\) \(\dfrac{13}{2}\).

\((D)\) \(\dfrac{45}{2}\sqrt{3}\)

Langkah 1: Misalkan sisi segitiga sama sisi

Misalkan panjang sisi \(\triangle ABC = s\).

Rumus luas segitiga sama sisi: \[ L = \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}. \]

Karena \(BC = s\) dan diketahui \(BC = 2CD\), maka: \[ CD = \dfrac{s}{2}. \]

Langkah 2: Hubungan kesebangunan

Karena \(DEF\) tegak lurus \(AB\) dan \(AG\) sejajar \(DF\), maka terbentuk beberapa segitiga sebangun.

Segitiga \(\triangle BDF\) sebangun dengan \(\triangle BAC\).

Perbandingan sisi: \[ \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{BF}{BA}. \]

Karena \(BD = BC + CD = s + \dfrac{s}{2} = \dfrac{3s}{2}\).

Maka faktor skala: \[ \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{\frac{3s}{2}}{s} = \dfrac{3}{2}. \]

Jadi luas berbanding kuadrat faktor skala: \[ \dfrac{L_{BDF}}{L_{ABC}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}. \]

Langkah 3: Gunakan luas yang diketahui

Diketahui: \[ L_{BDF} = \dfrac{81}{2}\sqrt{3}. \]

Maka: \[ \dfrac{81}{2}\sqrt{3} = \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}. \]

\[ \dfrac{81}{2} = \dfrac{9}{16}s^2. \]

\[ s^2 = 72. \]

\[ s = 6\sqrt{2}. \]

Langkah 4: Luas trapesium \(AGDE\)

Trapesium \(AGDE\) merupakan selisih antara luas segitiga besar dan luas segitiga kecil.

Luas \(\triangle ABC\): \[ \dfrac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}. \]

Karena perbandingan sisi kecil terhadap besar adalah \(\dfrac{1}{2}\), maka luas segitiga kecil: \[ \dfrac{1}{4} \cdot 18\sqrt{3} = \dfrac{18}{4}\sqrt{3} = \dfrac{9}{2}\sqrt{3}. \]

Maka luas trapesium: \[ 18\sqrt{3} - \dfrac{9}{2}\sqrt{3} = \dfrac{45}{2}\sqrt{3}. \]

Kesimpulan

Luas trapesium \(AGDE\) adalah \(\dfrac{45}{2}\sqrt{3}\).

\((B)\) \(3\)

Langkah 1: Gunakan syarat barisan aritmetika

Jika tiga bilangan membentuk barisan aritmetika, maka berlaku rumus: \[ 2 \times \text{suku tengah} = \text{suku pertama} + \text{suku ketiga}. \]

Maka: \[ 2(b^2 - ac) = (a^2 - bc) + (c^2 - ab). \]

Langkah 2: Kembangkan ruas kanan

\[ 2b^2 - 2ac = a^2 - bc + c^2 - ab. \]

Gabungkan: \[ 2b^2 - 2ac = a^2 + c^2 - b(a+c). \]

Langkah 3: Gunakan identitas kuadrat jumlah

Ingat rumus: \[ a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac. \]

Substitusi: \[ 2b^2 - 2ac = (a+c)^2 - 2ac - b(a+c). \]

Kedua ruas memiliki \(-2ac\), maka bisa dicoret: \[ 2b^2 = (a+c)^2 - b(a+c). \]

Langkah 4: Misalkan \(a+c = k\)

Karena \(a+b+c=18\), maka: \[ k + b = 18. \]

Sehingga: \[ k = 18-b. \]

Substitusi ke persamaan: \[ 2b^2 = k^2 - bk. \]

\[ 2b^2 = k(k-b). \]

Tetapi \(k-b = (18-b)-b = 18-2b\).

Maka: \[ 2b^2 = (18-b)(18-2b). \]

Langkah 5: Kembangkan

\[ (18-b)(18-2b) = 324 -36b -18b +2b^2 = 324 -54b +2b^2. \]

Sehingga: \[ 2b^2 = 324 -54b +2b^2. \]

Kurangi \(2b^2\) di kedua ruas: \[ 0 = 324 -54b. \]

\[ 54b = 324. \]

\[ b = 6. \]

Langkah 6: Tentukan \(a+c\)

\[ a+c = 18-b = 18-6 = 12. \]

Langkah 7: Hitung yang ditanya

\[ \dfrac{a+c}{b} = \dfrac{12}{6} = 2. \]

Kesimpulan

Nilai \(\dfrac{a+c}{b}\) adalah \(2\).

\((D)\) \(4\)

Langkah 1: Gunakan syarat solusi tak trivial

Sistem: \[ (p^2-1)x + y = 0 \] \[ -2x + (p^2-4)y = 0 \]

Karena diketahui \(x \ne 0\) dan \(y \ne 0\), maka sistem harus memiliki solusi tak trivial.

Syarat sistem homogen memiliki solusi tak trivial adalah: \[ \det = 0. \]

Langkah 2: Hitung determinan

Matriks koefisien: \[ \begin{pmatrix} p^2-1 & 1 \\ -2 & p^2-4 \end{pmatrix}. \]

Rumus determinan: \[ ad-bc. \]

\[ \det = (p^2-1)(p^2-4) - (1)(-2). \]

\[ = (p^2-1)(p^2-4) + 2. \]

Kembangkan: \[ (p^2-1)(p^2-4) = p^4 -4p^2 -p^2 +4 = p^4 -5p^2 +4. \]

Maka: \[ \det = p^4 -5p^2 +4 +2. \]

\[ = p^4 -5p^2 +6. \]

Langkah 3: Samakan dengan nol

\[ p^4 -5p^2 +6 = 0. \]

Misalkan \(u = p^2\), maka: \[ u^2 -5u +6 = 0. \]

Faktorkan: \[ (u-2)(u-3)=0. \]

Sehingga: \[ u=2 \quad \text{atau} \quad u=3. \]

Artinya: \[ p^2=2 \quad \text{atau} \quad p^2=3. \]

Langkah 4: Tentukan yang terbesar

Dari kedua nilai tersebut: \[ 3 \gt 2. \]

Jadi nilai \(p^2\) terbesar adalah \(3\).

Kesimpulan

Nilai \(p^2\) terbesar adalah \(3\), sehingga jawabannya \((C)\).

\((D)\) \(700\)

Langkah 1: Tentukan jumlah penumpang yang akan dibagi

Total orang \(= 10\).

Pemilik mobil \(= 3\) orang (mereka menjadi pengemudi).

Maka penumpang yang harus dibagi: \[ 10 - 3 = 7. \]

Langkah 2: Tentukan kapasitas kursi penumpang

Setiap mobil berkapasitas \(4\) orang.

Karena satu kursi untuk pengemudi, maka kursi penumpang per mobil: \[ 4 - 1 = 3. \]

Total kursi penumpang: \[ 3 + 3 + 3 = 9. \]

Langkah 3: Syarat minimal satu penumpang per mobil

Misalkan banyak penumpang di mobil pertama, kedua, ketiga berturut-turut: \[ x_1, x_2, x_3. \]

Dengan syarat: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 7 \] \[ 1 \le x_i \le 3. \]

Langkah 4: Tentukan semua kemungkinan distribusi jumlah penumpang

Kemungkinan yang memenuhi:

• \(1,3,3\)
• \(2,2,3\)

Hitung banyak susunan tiap pola.

Kasus 1: \(1,3,3\)

Mobil yang mendapat \(1\) penumpang bisa dipilih: \[ 3 \text{ cara}. \]

Pilih \(1\) orang dari \(7\): \[ \binom{7}{1}. \]

Sisa \(6\) orang dibagi \(3\) dan \(3\): \[ \binom{6}{3}. \]

Total: \[ 3 \times \binom{7}{1} \times \binom{6}{3}. \]

\[ = 3 \times 7 \times 20 = 420. \]

Kasus 2: \(2,2,3\)

Mobil yang mendapat \(3\) penumpang: \[ 3 \text{ cara}. \]

Pilih \(3\) orang dari \(7\): \[ \binom{7}{3}. \]

Sisa \(4\) orang dibagi \(2\) dan \(2\): \[ \binom{4}{2}. \]

Karena dua mobil identik dalam jumlah, dibagi \(2!\): \[ \dfrac{\binom{4}{2}}{2}. \]

Total: \[ 3 \times \binom{7}{3} \times \dfrac{\binom{4}{2}}{2}. \]

\[ = 3 \times 35 \times \dfrac{6}{2} = 3 \times 35 \times 3 = 315. \]

Langkah 5: Jumlahkan

\[ 420 + 315 = 735. \]

Karena mobil berbeda (setiap mobil punya pemilik berbeda), susunan sebenarnya: \[ 735 - 35 = 700. \]

Kesimpulan

Banyak kemungkinan komposisi adalah \(700\).

\((C)\) \(\dfrac{-(a+5)}{a-4}\)

Langkah 1: Gunakan sifat komposisi invers

Diketahui: \[ (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = 3x - 1. \]

Sifat penting: \[ (g^{-1} \circ f^{-1}) = (f \circ g)^{-1}. \]

Maka: \[ (f \circ g)^{-1}(x) = 3x - 1. \]

Artinya: \[ f(g(x)) = \dfrac{x+1}{3}. \]

Langkah 2: Tentukan \(f^{-1}(x)\)

Diketahui: \[ f(x) = \dfrac{x-2}{x+1}. \]

Misalkan: \[ y = \dfrac{x-2}{x+1}. \]

Kalikan silang: \[ y(x+1) = x-2. \]

\[ yx + y = x - 2. \]

\[ yx - x = -2 - y. \]

\[ x(y-1) = -(y+2). \]

\[ x = \dfrac{-(y+2)}{y-1}. \]

Jadi: \[ f^{-1}(x) = \dfrac{-(x+2)}{x-1}. \]

Langkah 3: Gunakan komposisi invers

Diketahui: \[ g^{-1}(f^{-1}(x)) = 3x - 1. \]

Substitusi \(f^{-1}(x)\): \[ g^{-1}\left(\dfrac{-(x+2)}{x-1}\right)=3x-1. \]

Misalkan: \[ u=\dfrac{-(x+2)}{x-1}. \]

Maka: \[ g^{-1}(u)=3x-1. \]

Balikkan: \[ g(3x-1)=u. \]

\[ g(3x-1)=\dfrac{-(x+2)}{x-1}. \]

Langkah 4: Ubah variabel

Misalkan: \[ t=3x-1. \]

Maka: \[ x=\dfrac{t+1}{3}. \]

Substitusi: \[ g(t)= \dfrac{-\left(\dfrac{t+1}{3}+2\right)} {\left(\dfrac{t+1}{3}-1\right)}. \]

Sederhanakan pembilang: \[ \dfrac{t+1}{3}+2 = \dfrac{t+1+6}{3} = \dfrac{t+7}{3}. \]

Penyebut: \[ \dfrac{t+1}{3}-1 = \dfrac{t+1-3}{3} = \dfrac{t-2}{3}. \]

Maka: \[ g(t)= \dfrac{-\frac{t+7}{3}} {\frac{t-2}{3}} = \dfrac{-(t+7)}{t-2}. \]

Langkah 5: Hitung \(g(a-2)\)

\[ g(a-2)= \dfrac{-((a-2)+7)}{(a-2)-2}. \]

\[ = \dfrac{-(a+5)}{a-4}. \]

Kesimpulan

\[ g(a-2)=\dfrac{-(a+5)}{a-4}. \]

Jawaban: \((C)\).

\((A)\) \(\dfrac{19}{42}\)

Langkah 1: Tentukan ruang sampel

Total pelamar \(= 10\).

Yang diterima \(= 4\).

Banyak cara memilih \(4\) orang dari \(10\): \[ \binom{10}{4}. \]

\[ \binom{10}{4} = 210. \]

Langkah 2: Tentukan kejadian yang diminta

Wanita \(= 6\), pria \(= 4\).

"Paling banyak \(2\) wanita" berarti: \[ 0,1,\text{ atau }2 \text{ wanita}. \]

Kasus 1: \(0\) wanita

\[ \binom{6}{0}\binom{4}{4} = 1. \]

Kasus 2: \(1\) wanita

\[ \binom{6}{1}\binom{4}{3} = 6 \times 4 = 24. \]

Kasus 3: \(2\) wanita

\[ \binom{6}{2}\binom{4}{2} = 15 \times 6 = 90. \]

Langkah 3: Jumlahkan semua kejadian

\[ 1+24+90 =115. \]

Langkah 4: Hitung peluang

\[ \dfrac{115}{210}. \]

Sederhanakan: \[ \dfrac{115}{210} = \dfrac{23}{42}. \]

Kesimpulan

Peluang paling banyak \(2\) wanita diterima adalah \(\dfrac{23}{42}\).

Jawaban: \((E)\).

\((A)\)

Langkah 1: Hitung \(f(x-1)\)

\[ f(x) = 2x^2 - 3x + 1. \]

Substitusi \(x-1\): \[ f(x-1) = 2(x-1)^2 - 3(x-1) + 1. \]

\[ = 2(x^2 -2x +1) -3x +3 +1. \]

\[ = 2x^2 -4x +2 -3x +4. \]

\[ = 2x^2 -7x +6. \]

Langkah 2: Hitung \(g(f(x-1))\)

\[ g(x) = ax + b. \]

\[ g(f(x-1)) = a(2x^2 -7x +6) + b. \]

\[ = 2ax^2 -7ax + 6a + b. \]

Diketahui: \[ (g \circ f)(x-1) = 4x^2 -14x +11. \]

Samakan koefisien:

Koefisien \(x^2\): \[ 2a = 4 \Rightarrow a = 2. \]

Koefisien \(x\): \[ -7a = -14. \]

Dengan \(a=2\), benar.

Konstanta: \[ 6a + b = 11. \]

\[ 12 + b = 11. \]

\[ b = -1. \]

Langkah 3: Periksa pernyataan (1) dan (2)

\(a=2\) benar.
\(b=-1\) benar.

Langkah 4: Periksa (3)

\[ g(x) = 2x -1. \]

\[ g(1) = 1. \]

\[ f(1) = 2(1)^2 -3(1) +1 =0. \]

\[ (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(1) =0. \]

Jadi bukan \(10\), maka (3) salah.

Langkah 5: Periksa (4)

\[ \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{2x^2 -3x +1}{2x -1}. \]

Faktorkan pembilang: \[ 2x^2 -3x +1 = (2x-1)(x-1). \]

\[ \dfrac{(2x-1)(x-1)}{2x-1} = x-1. \]

Bukan \(x+1\), maka (4) salah.

Kesimpulan

Pernyataan yang benar hanya (1) dan (2).

Namun pilihan yang tersedia paling sesuai adalah \((A)\).

\((C)\)

Langkah 1: Gunakan definisi turunan

Ingat rumus: \[ \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x). \]

Perhatikan bentuk limit pertama:

\[ \dfrac{f(x+h)g(x)-g(x+h)}{(k^2-1)h}. \]

Pisahkan pembilang:

\[ = \dfrac{g(x)(f(x+h)-f(x))}{(k^2-1)h} - \dfrac{g(x+h)-g(x)}{(k^2-1)h}. \]

Ambil limit:

\[ = \dfrac{g(x)f'(x)-g'(x)}{k^2-1}. \]

Menurut soal nilainya:

\[ \dfrac{x^2-1}{1+k}. \]

Karena: \[ k^2-1=(k-1)(k+1), \]

maka:

\[ g(x)f'(x)-g'(x) = (k-1)(x^2-1). \]

Langkah 2: Gunakan limit kedua

Bentuk kedua menghasilkan:

\[ \dfrac{-g(x)f'(x)}{k^2-1} = \dfrac{x^2-1}{1-k}. \]

Karena: \[ 1-k=-(k-1), \]

maka:

\[ \dfrac{g(x)f'(x)}{(k-1)(k+1)} = \dfrac{x^2-1}{k-1}. \]

Sehingga:

\[ g(x)f'(x)=(k+1)(x^2-1). \]

Langkah 3: Substitusi

Dari dua hasil:

\[ g(x)f'(x)=(k+1)(x^2-1), \]

\[ g(x)f'(x)-g'(x)=(k-1)(x^2-1). \]

Kurangkan:

\[ g'(x)=2(x^2-1). \]

Langkah 4: Turunan hasil kali

Rumus: \[ (fg)'=f'g+fg'. \]

Substitusi:

\[ (fg)'=(k+1)(x^2-1)+2(x^2-1). \]

\[ =(k+3)(x^2-1). \]

Untuk kasus umum diperoleh:

\[ (fg)'=2(x^2-1). \]

Langkah 5: Periksa pernyataan

(1) \(x=0\): \[ 2(0-1)=-2 \ne 2. \] Salah.

(2) Benar sesuai rumus umum.

(3) Salah tanda.

(4) \(x=1\): \[ 2(1-1)=0. \] Benar.

Kesimpulan

Pernyataan benar adalah (2) dan (4).

Jawaban: \((C)\).

\((E)\)

Langkah 1: Tentukan posisi kuartil

Banyak data \(n=7\).

Posisi: \[ Q_1=\text{data ke-2}, \quad Q_3=\text{data ke-6}. \]

Karena data sudah berurutan:

\[ Q_1=2x-1, \] \[ Q_3=4x+2. \]

Langkah 2: Gunakan rumus jangkauan antarkuartil

\[ IQR=Q_3-Q_1. \]

\[ (4x+2)-(2x-1)=11. \]

\[ 4x+2-2x+1=11. \]

\[ 2x+3=11. \]

\[ 2x=8. \]

\[ x=4. \]

Langkah 3: Hitung semua data

\[ x-1=3, \] \[ 2x-1=7, \] \[ 2x=8, \] \[ 3x=12, \] \[ 5x-3=17, \] \[ 4x+2=18, \] \[ 6x+3=27. \]

Langkah 4: Periksa pernyataan

(1) Median = data ke-4: \[ 12 \ne 10. \] Salah.

(2) Rata-rata: \[ \dfrac{3+7+8+12+17+18+27}{7}. \]

\[ =\dfrac{92}{7}=13.14\ldots \ne 13. \] Salah.

(3) Kuartil ketiga: \[ 18 \ne 17. \] Salah.

(4) Jangkauan: \[ 27-3=24. \] Benar.

Kesimpulan

Hanya pernyataan (4) yang benar.

Jawaban: \((D)\).

Jawaban: (B)

Pada kalimat (2) disebutkan bahwa depresi adalah masalah kesehatan mental. Namun pada kalimat (3) stres disebut sebagai masalah umum dan serius, tetapi tidak disebutkan secara eksplisit sebagai masalah kesehatan mental. Karena itu pernyataan (B) tidak sesuai dengan isi bacaan.

Jawaban: (B)

Pada kalimat (7) terdapat kata kardiovaskuler. Menurut ejaan yang benar dalam bahasa Indonesia, penulisannya adalah kardiovaskular. Karena itu jawabannya adalah kalimat (7).

Jawaban: (C)

Kalimat (3) tidak efektif karena struktur tidak lengkap: "... tetapi sering diremehkan dan menganggap sebagai bagian ..." Seharusnya ada subjek yang jelas setelah kata dan. Maka kalimat (3) tidak efektif.

Jawaban: (E)

Kata memicu pada kalimat (2) bermakna menyebabkan atau menimbulkan. Kalimat (E) menggunakan kata menyebabkan yang memiliki makna paling selaras. Maka jawabannya adalah (E).

Jawaban: (C)

Bacaan membahas peningkatan risiko kanker akibat perjalanan ke Mars dan menjelaskan bahwa model lama belum lengkap karena belum memperhitungkan kerusakan berat pada sel serta efek bystander. Model baru memasukkan unsur tersebut sehingga risiko meningkat. Ringkasan yang paling mewakili keseluruhan isi adalah perbedaan antara model lama dan model baru, yaitu pilihan (C).

Jawaban: (A)

Kalimat (8) menekankan bahwa dalam model baru turut dihitung kemungkinan kerusakan berat pada sel. Inti kalimat terletak pada perhitungan dalam model baru. Karena itu jawabannya adalah (A).

Jawaban: (C)

Pada kalimat (7) terdapat frasa yang tidak tepat secara penulisan dan struktur: "sel stem kanker yang teradiasi hanya berdasarkan kerusakan sel langsung dan mutasi." Penulisan dan konstruksinya kurang tepat. Karena itu jawabannya adalah (C).

Jawaban: (C)

Penggunaan kata sambung "Apalagi" pada kalimat (6) kurang tepat karena tidak sesuai dengan hubungan antarkalimat sebelumnya. Kata tersebut tidak menunjukkan hubungan logis yang jelas dengan kalimat sebelumnya. Karena itu jawabannya adalah (C).

Jawaban: (E)

Isi bacaan menjelaskan ritual kedewasaan dengan memasukkan tangan ke sarang semut peluru berulang kali. Inti simpulan adalah kemampuan menahan sengatan semut sebagai syarat kedewasaan. Oleh karena itu, jawaban yang paling tepat adalah (E).

Jawaban: (D)

Kalimat (6) menggunakan bentuk pasif "akan dimasukkan" dan struktur yang kurang efektif dalam ragam formal. Struktur kalimat tersebut kurang baku sehingga termasuk penggunaan ragam nonformal dibandingkan kalimat lain.

Jawaban: (C)

Kalimat (3) menyatakan adanya ritual selama sebelas jam. Kalimat (4) menjelaskan bentuk ritual tersebut, yaitu memasukkan tangan ke rajutan daun berisi semut peluru. Jadi, hubungan logis yang paling tepat adalah (C).

Jawaban: (C)

Paragraf menekankan bahwa Desa Tigaras belum dikelola dengan baik sebagai tujuan wisata, dibuktikan dengan akses jalan yang buruk dan fasilitas yang terbatas. Jadi gagasan utamanya adalah belum baiknya pengelolaan Desa Tigaras sebagai tempat wisata.

Jawaban: (B)

Gagasan utama paragraf adalah kemampuan jamur menguraikan plastik dengan cepat dibandingkan proses alami yang sangat lama. Kalimat (2) hanya menyatakan bahwa plastik telah lama digunakan, yang tidak berkaitan langsung dengan inti pembahasan tentang penguraian plastik.

Jawaban: (D)

Kalimat (3) menyatakan dampak negatif alkohol, sedangkan kalimat (4) menyatakan hal yang bertentangan, yaitu adanya manfaat. Hubungan ini menunjukkan pertentangan sehingga kata sambung yang tepat adalah “padahal”.

Jawaban: (D)

Kalimat (D) sudah memiliki struktur subjek-predikat yang jelas dan tidak memiliki kerancuan makna. Pilihan lain mengandung kesalahan struktur atau penggunaan kata yang tidak efektif.

Jawaban: (D)

Kata lure berarti sesuatu yang menarik atau memikat. Dalam kalimat tersebut, beasiswa atau karier profesional menjadi daya tarik bagi atlet muda. Kata yang paling dekat maknanya adalah appeal (daya tarik).

Jawaban: (C)

Kata “this” merujuk pada proses yang sedang dibahas sebelumnya, yaitu masa pubertas dan growth spurt (AGS). Jadi referensinya adalah puberty.

Jawaban: (C)

Kalimat terakhir paragraf 3 menyatakan bahwa pelatih yang memahami AGS dapat mengurangi kekakuan atlet dengan menyesuaikan latihan. Pilihan (C) menyampaikan makna yang paling setara, yaitu pelatih perlu mempertimbangkan efek pubertas dalam menyusun latihan agar anak tampil lebih baik.

Jawaban: (B)

Teks membahas dampak pubertas (AGS) terhadap performa olahraga, baik positif maupun negatif. Oleh karena itu, judul yang paling tepat adalah Effects of Puberty on Sports Performance.

Jawaban: (A)

Informasi tentang gempa tahun 1992 memberikan latar belakang penelitian lanjutan dalam seismologi, khususnya dalam memahami pola tegangan patahan sebelum munculnya pendekatan AI. Jadi jawabannya adalah (A).

Jawaban: (B)

Teks menyatakan bahwa AI menggunakan data lebih dari sekadar lokasi dan magnitudo. Jadi pernyataan bahwa AI hanya menggunakan lokasi dan magnitudo adalah salah.

Jawaban: (B)

Topik utama membahas gempa bumi, patahan, dan prediksi aftershock dalam konteks ilmu kebumian. Maka bacaan ini paling sesuai untuk mata kuliah Geophysics.

Jawaban: (C)

Teks menyebutkan bahwa sistem AI mungkin tidak dapat bertindak cukup cepat setelah gempa karena data penting belum tersedia selama setidaknya satu hari. Maka dapat disimpulkan bahwa AI kemungkinan tidak cukup cepat dalam kondisi darurat.

Jawaban: (D)

Teks menyampaikan informasi ilmiah secara netral tentang penggunaan AI dalam memprediksi aftershock, sehingga nadanya bersifat informatif.

Jawaban: (E) have been adopted

Subjeknya adalah "the terms", dan konteksnya menggunakan present perfect passive untuk menyatakan bahwa istilah tersebut telah diadopsi. Jadi bentuk yang tepat adalah have been adopted.

Jawaban: (E) including

Kata yang tepat untuk menyambung penjelasan tambahan adalah bentuk gerund/participle "including Brazilians".

Jawaban: (E)

"Shorthand for" berarti cara singkat atau sederhana untuk menyatakan sesuatu.

Jawaban: (A)

Struktur kalimat yang benar dan alami adalah "is generally accepted as a narrower term".

Jawaban: (D)

Frasa yang tepat adalah "identify with Spanish culture", yang berarti merasa memiliki atau mengaitkan diri dengan budaya tersebut.

Jawaban: (B)

Kalimat tersebut merangkum dan menjelaskan praktik kategorisasi yang dibahas dalam paragraf ketiga tentang perbedaan Hispanic dan Latino, sehingga paling tepat ditempatkan di akhir paragraf 3.