Diketahui:

\( \sin x = 4 \cos x \)

Langkah pertama, ubah menjadi bentuk \( \tan x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \), dengan syarat \( \cos x \ne 0 \):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \)

Karena \( \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( \tan x = 4 \)

Gunakan identitas dasar:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \)

Substitusi:

\( 1 + 4^2 = \sec^2 x \)

\( 1 + 16 = \sec^2 x \)

\( 17 = \sec^2 x \)

Karena \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \), maka:

\( \cos^2 x = \frac{1}{17} \)

Sehingga:

\( \cos x = \frac{1}{\sqrt{17}} \)

Karena \( \sin x = 4 \cos x \), maka:

\( \sin x = \frac{4}{\sqrt{17}} \)

Sekarang hitung:

\( \sin x \cdot \cos x = \frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} \)

\( = \frac{4}{17} \)

Jadi jawabannya adalah:

E. \( \frac{4}{17} \)

Langkah 1: Ubah informasi menjadi perbandingan trigonometri.

Diketahui \( \sin x = 3\cos x \). Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (di kuadran III, \( \cos x \neq 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \).

Langkah 2: Tentukan tanda \( \sin x \) dan \( \cos x \) di kuadran III.

Karena \( 180^\circ \lt x \lt 270^\circ \) (kuadran III), maka:

\( \sin x \lt 0 \) dan \( \cos x \lt 0 \), sehingga \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \gt 0 \) (sesuai \( \tan x = 3 \)).

Langkah 3: Cari \( \sin x \) dan \( \cos x \) dari \( \tan x = 3 \).

Gunakan identitas SMA: \( 1+\tan^2 x = \sec^2 x \) dan \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \).

\( 1+\tan^2 x = 1+3^2 = 10 \Rightarrow \sec^2 x = 10 \Rightarrow \sec x = \sqrt{10} \).

Karena \( x \) di kuadran III, \( \cos x \lt 0 \Rightarrow \sec x \lt 0 \), maka:

\( \sec x = -\sqrt{10} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{-\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} \).

Lalu \( \sin x = 3\cos x \):

\( \sin x = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}} \).

Langkah 4: Hitung \( \sin x + \cos x \).

\( \sin x + \cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{4}{\sqrt{10}} \).

Samakan bentuk seperti opsi (rationalisasi penyebut):

\( -\frac{4}{\sqrt{10}} = -\frac{4}{\sqrt{10}}\cdot\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = -\frac{4\sqrt{10}}{10} = -\frac{4}{10}\sqrt{10} \).

Jadi, jawabannya adalah A: \( -\frac{4}{10}\sqrt{10} \).

Diketahui \(2\sin x=\cos x\). Bagi kedua ruas dengan \(\cos x\) (dengan catatan \(\cos x \ne 0\)):

\(\dfrac{2\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{\cos x}\)

Sehingga \(2\tan x=1\) dan diperoleh \(\tan x=\dfrac{1}{2}\). Karena \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) dan \(\tan x \gt 0\), maka \(\sin x\) dan \(\cos x\) bertanda sama, sehingga \(\sin 2x=2\sin x\cos x \gt 0\).

Sekarang gunakan rumus sudut ganda dalam bentuk \(\tan\): \[ \sin 2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x}. \]

Substitusi \(\tan x=\dfrac{1}{2}\):

\(\sin 2x=\dfrac{2\cdot \dfrac{1}{2}}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} =\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4}} =\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}} =\dfrac{4}{5}\).

Jadi, nilai \(\sin 2x\) adalah \(\boxed{\dfrac{4}{5}}\) sehingga jawabannya D.

Diketahui \( \tan x=\dfrac{1}{2} \). Ingat bahwa \( \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} \).

Ditanya nilai \( \dfrac{3\sin x-\cos x}{\sin x+2\cos x} \).

Sesuai petunjuk, bagi pembilang dan penyebut dengan \( \cos x \):

\( \dfrac{\dfrac{3\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\cos x}}{\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{2\cos x}{\cos x}} \)

Gunakan identitas: \( \dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x \) dan \( \dfrac{\cos x}{\cos x}=1 \).

Sehingga diperoleh \( \dfrac{3\tan x-1}{\tan x+2} \).

Substitusi \( \tan x=\dfrac{1}{2} \):

Pembilang: \( 3\left(\dfrac{1}{2}\right)-1 =\dfrac{3}{2}-1 =\dfrac{1}{2} \).

Penyebut: \( \dfrac{1}{2}+2 =\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{2} =\dfrac{5}{2} \).

Maka nilai pecahan: \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{5}{2}} =\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{5} =\dfrac{1}{5} \).

Jadi, nilai yang diperoleh adalah \( \dfrac{1}{5} \).

Jawaban yang benar adalah A.

Target: Menentukan apakah informasi yang diberikan cukup untuk menemukan nilai tunggal \( \cos^2 x \).

Uji Pernyataan (1): \( \sin x = 2\cos x \)

Dari \( \sin x = 2\cos x \), bagi kedua ruas dengan \( \cos x \).

Catatan: \( \cos x \neq 0 \). Jika \( \cos x = 0 \), maka ruas kanan \( 2\cos x = 0 \) sehingga \( \sin x = 0 \), padahal tidak mungkin \( \sin x \) dan \( \cos x \) sama-sama \( 0 \).

Maka:

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \Rightarrow \tan x = 2 \).

Gunakan identitas SMA:

\( 1+\tan^2 x = \sec^2 x \) dan \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 2 \):

\( 1+\tan^2 x = 1+2^2 = 5 \Rightarrow \sec^2 x = 5 \).

Karena \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \), maka:

\( \frac{1}{\cos^2 x} = 5 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{5} \).

Kesimpulan (1): Pernyataan (1) cukup karena menghasilkan nilai tunggal \( \cos^2 x = \frac{1}{5} \) tanpa perlu mengetahui kuadran (tanda \( \cos x \) tidak berpengaruh karena yang ditanya \( \cos^2 x \)).

Uji Pernyataan (2): \( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \)

Pernyataan ini hanya menyatakan \( x \) berada di kuadran I. Nilai \( \cos^2 x \) bisa bermacam-macam tergantung \( x \).

Contoh: jika \( x = \frac{\pi}{6} \) maka \( \cos^2 x = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \).

Jika \( x = \frac{\pi}{3} \) maka \( \cos^2 x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).

Nilainya berbeda, jadi (2) tidak cukup.

Jawaban: A. Pernyataan (1) SAJA cukup, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.

Diketahui \(3^{\sin x}=9^{\cos x}\).

Karena \(9=3^2\), maka \(9^{\cos x}=(3^2)^{\cos x}\).

Gunakan sifat perpangkatan: \((a^m)^n=a^{mn}\).

Sehingga \(9^{\cos x}=3^{2\cos x}\).

Maka persamaan menjadi: \(3^{\sin x}=3^{2\cos x}\).

Karena basis sama dan positif, maka pangkatnya sama: \( \sin x=2\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (karena pada interval \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\), \( \cos x \gt 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x}=2 \).

Jadi \( \tan x=2 \).

Gunakan identitas: \( 1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x=2 \):

\( 1+2^2=5 \).

Maka \( \dfrac{1}{\cos^2 x}=5 \Rightarrow \cos^2 x=\dfrac{1}{5} \).

Karena \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\), maka \( \cos x \gt 0 \), sehingga \( \cos x=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \).

Karena \( \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=2 \), maka \( \sin x=2\cos x=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{5}} \).

Sekarang hitung: \( \sin x \cdot \cos x= \dfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}} =\dfrac{2}{5} \).

Jadi nilai \( \sin x \cdot \cos x \) adalah \( \dfrac{2}{5} \).

Jawaban yang benar adalah B.

Langkah 1: Ubah persamaan agar melibatkan \( \tan x \).

Karena ada \( \sin^2 x \), \( \sin x \cos x \), dan \( \cos^2 x \), cara SMA yang umum adalah membagi seluruh persamaan dengan \( \cos^2 x \).

Catatan: Untuk sudut lancip \( x \), berlaku \( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \) sehingga \( \cos x \gt 0 \) dan pasti \( \cos x \neq 0 \). Jadi pembagian dengan \( \cos^2 x \) aman.

Bagi kedua ruas dengan \( \cos^2 x \):

\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 6\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)

Sederhanakan tiap suku:

\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \tan^2 x \)

\( \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \)

\( \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 1 \)

Maka persamaan menjadi:

\( \tan^2 x - 5\tan x + 6 = 0 \)

Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat.

Faktorkan:

\( \tan^2 x - 5\tan x + 6 = (\tan x - 2)(\tan x - 3) \)

Jadi:

\( (\tan x - 2)(\tan x - 3) = 0 \Rightarrow \tan x = 2 \) atau \( \tan x = 3 \).

Langkah 3: Cek syarat sudut lancip.

Untuk sudut lancip \( x \), \( \tan x \gt 0 \). Nilai \( 2 \) dan \( 3 \) keduanya \( \gt 0 \), jadi keduanya mungkin.

Jawaban: B. \( 2 \) atau \( 3 \).

Diketahui \( \sin x = 2\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka diperoleh \( \tan x = 2 \).

Gunakan identitas dasar trigonometri: \( 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 2 \):

\( 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \).

Jadi \( \dfrac{1}{\cos^2 x} = 5 \Rightarrow \cos^2 x = \dfrac{1}{5} \).

Karena \( \sin x = 2\cos x \), maka \( \sin^2 x = 4\cos^2 x \).

Substitusi \( \cos^2 x = \dfrac{1}{5} \):

\( \sin^2 x = 4\left(\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{4}{5} \).

Maka \( \dfrac{1}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{5}{4} = 1,25 \).

Jadi nilai yang diperoleh adalah \( 1,25 \).

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Ubah ke bentuk \( \tan x \).

Diketahui \( \sin x = \sqrt{3}\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (karena sudut lancip maka \( \cos x \gt 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \Rightarrow \tan x = \sqrt{3} \).

Langkah 2: Tentukan nilai sudut.

Dalam trigonometri SMA, diketahui:

Jika \( \tan x = \sqrt{3} \) dan \( x \) sudut lancip, maka \( x = 60^\circ \).

Langkah 3: Tentukan \( \sin x \) dan \( \cos x \).

Untuk \( 60^\circ \):

\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

Langkah 4: Hitung \( P \).

\( P = \sin x + \cos x \)

\( P = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \)

\( P = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \)

Nilai pendekatan:

\( \sqrt{3} \approx 1,732 \)

\( P \approx \frac{1,732+1}{2} = \frac{2,732}{2} = 1,366 \)

Langkah 5: Bandingkan dengan \( Q \).

\( Q = 1,3 \)

Karena \( 1,366 \gt 1,3 \), maka:

\( P \gt Q \)

Jawaban: A

Langkah 1: Ubah ke bentuk \( \tan x \).

Diketahui \( \sin x = 4\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (diasumsikan \( \cos x \neq 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \Rightarrow \tan x = 4 \).

Langkah 2: Gunakan identitas sudut berelasi.

Dalam trigonometri SMA berlaku rumus:

\( \tan(90^\circ - x) = \cot x \).

Dan diketahui hubungan:

\( \cot x = \frac{1}{\tan x} \).

Langkah 3: Substitusi nilai \( \tan x \).

Karena \( \tan x = 4 \), maka:

\( \cot x = \frac{1}{4} \).

Sehingga:

\( \tan(90^\circ - x) = \frac{1}{4} \).

Jawaban: E

Diketahui \( \tan x = p \).

Ingat definisi: \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \).

Gunakan identitas dasar trigonometri: \( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = p \):

\( 1+p^2 = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Sehingga diperoleh: \( \cos^2 x = \dfrac{1}{1+p^2} \).

Karena \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = p \), maka \( \sin x = p \cos x \).

Maka hasil kali:

\( \sin x \cdot \cos x = (p\cos x)(\cos x) = p\cos^2 x \).

Substitusi \( \cos^2 x = \dfrac{1}{1+p^2} \):

\( \sin x \cdot \cos x = p\left(\dfrac{1}{1+p^2}\right) = \dfrac{p}{p^2+1} \).

Jadi bentuk yang diperoleh adalah \( \dfrac{p}{p^2+1} \).

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Ubah ke bentuk \( \tan x \).

Diketahui \( \sin x = 3\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (karena sudut lancip maka \( \cos x \gt 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \).

Langkah 2: Gunakan identitas dasar SMA.

Dalam trigonometri berlaku:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \).

Langkah 3: Substitusi nilai \( \tan x \).

Karena \( \tan x = 3 \), maka:

\( \sec^2 x = 1 + 3^2 \)

\( \sec^2 x = 1 + 9 \)

\( \sec^2 x = 10 \).

Jawaban: C

Segitiga \(ABC\) siku-siku di \(B\), sehingga berlaku teorema Pythagoras.

Diketahui \(AB\) adalah sepertiga dari \(BC\).

Misalkan \(BC = 3k\), maka \(AB = k\).

Hitung sisi miring \(AC\):

\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\)

\(AC = \sqrt{k^2 + (3k)^2}\)

\(AC = \sqrt{k^2 + 9k^2} = \sqrt{10k^2} = k\sqrt{10}\).

Sudut yang ditinjau adalah \( \theta = \angle ACB \).

Untuk sudut di \(C\):

Sisi depan = \(AB = k\)

Sisi samping = \(BC = 3k\)

Sisi miring = \(AC = k\sqrt{10}\)

Maka:

\( \sin \theta = \dfrac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{k}{k\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \)

\( \cos \theta = \dfrac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}} = \dfrac{3k}{k\sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \)

Sehingga:

\( \sin \theta \cdot \cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{3}{10} \).

Jadi nilainya adalah \( \dfrac{3}{10} \).

Jawaban yang benar adalah C.

Langkah 1: Gunakan identitas yang melibatkan \( \tan x \).

Diketahui \( \tan x = \sqrt{5} \).

Gunakan identitas dasar SMA:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \).

Langkah 2: Hitung \( \sec^2 x \).

\( \tan^2 x = (\sqrt{5})^2 = 5 \).

\( \sec^2 x = 1 + 5 = 6 \).

Karena \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \), maka:

\( \cos^2 x = \frac{1}{6} \).

Langkah 3: Gunakan identitas \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

\( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)

\( \sin^2 x = 1 - \frac{1}{6} \)

\( \sin^2 x = \frac{5}{6} \).

Langkah 4: Hitung \( \sin^2 x - \cos^2 x \).

\( \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} \)

\( \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{4}{6} \)

\( \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{2}{3} \).

Jawaban: B

Diketahui \( \sin x = 2\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka diperoleh \( \tan x = 2 \).

Gunakan rumus jumlah sudut:

\( \tan(A+B) = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \).

Ambil \( A = x \) dan \( B = 45^\circ \).

Diketahui \( \tan 45^\circ = 1 \).

Maka:

\( \tan(x+45^\circ) = \dfrac{\tan x + 1}{1 - \tan x} \).

Substitusi \( \tan x = 2 \):

\( \tan(x+45^\circ) = \dfrac{2+1}{1-2} = \dfrac{3}{-1} = -3 \).

Jadi nilai \( \tan(x+45^\circ) \) adalah \( -3 \).

Jawaban yang benar adalah A.

Langkah 1: Pahami arti \( f(2) \).

Diketahui \( f(\tan x) = \sin x \cdot \cos x \).

Jika yang ditanya \( f(2) \), berarti:

\( \tan x = 2 \).

Langkah 2: Gunakan identitas dasar SMA.

Gunakan identitas:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \).

Substitusi \( \tan x = 2 \):

\( \tan^2 x = 4 \)

\( \sec^2 x = 1 + 4 = 5 \).

Karena \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \), maka:

\( \cos^2 x = \frac{1}{5} \).

Untuk sudut lancip (umumnya diasumsikan positif), maka:

\( \cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

Langkah 3: Tentukan \( \sin x \).

Gunakan hubungan:

\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).

\( 2 = \frac{\sin x}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \).

\( \sin x = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \).

\( \sin x = \frac{2}{\sqrt{5}} \).

Langkah 4: Hitung \( \sin x \cdot \cos x \).

\( \sin x \cdot \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \).

\( \sin x \cdot \cos x = \frac{2}{5} \).

Jawaban: B

Diketahui:

\( {}^{2}\log(\sin x) - {}^{2}\log(\cos x) = \dfrac{1}{2}\,{}^{2}\log(9) \).

Gunakan sifat logaritma:

\( \log a - \log b = \log \left(\dfrac{a}{b}\right) \).

Sehingga ruas kiri menjadi:

\( {}^{2}\log\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right) \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( {}^{2}\log(\tan x) = \dfrac{1}{2}\,{}^{2}\log(9) \).

Gunakan sifat:

\( k\,\log a = \log(a^k) \).

Maka ruas kanan menjadi:

\( {}^{2}\log(9^{1/2}) \).

Karena \( 9^{1/2} = 3 \), maka diperoleh:

\( {}^{2}\log(\tan x) = {}^{2}\log(3) \).

Karena basis log sama dan argumen positif, maka:

\( \tan x = 3 \).

Gunakan identitas:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 3 \):

\( 1+3^2 = 10 \).

Sehingga:

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \).

Karena \( \sin x = \tan x \cdot \cos x = 3\cos x \), maka:

\( \sin x \cdot \cos x = (3\cos x)(\cos x) = 3\cos^2 x \).

Substitusi \( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \):

\( \sin x \cdot \cos x = 3\left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{3}{10} \).

Jadi nilainya adalah \( \dfrac{3}{10} \).

Jawaban yang benar adalah A.

Garis melalui \( (0,0) \) dan \( (1,3) \).

Gradien garis:

\( m = \dfrac{3-0}{1-0} = 3 \).

Gradien garis terhadap sumbu \( X \) positif memenuhi:

\( \tan x = m \).

Jadi diperoleh:

\( \tan x = 3 \).

Gunakan identitas dasar:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 3 \):

\( 1+3^2 = 10 \).

Maka:

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \).

Karena \( \sin x = \tan x \cdot \cos x \), maka:

\( \sin x = 3\cos x \).

Sehingga:

\( \sin x \cdot \cos x = (3\cos x)(\cos x) = 3\cos^2 x \).

Substitusi \( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \):

\( \sin x \cdot \cos x = 3\left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{3}{10} = 0,3 \).

Jadi nilai yang diperoleh adalah \( 0,3 \).

Jawaban yang benar adalah B.

Langkah 1: Gunakan rumus determinan matriks \( 2 \times 2 \).

Untuk matriks \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), determinannya adalah:

\( \det(A) = ad - bc \).

Pada soal:

\( a = \sin x \), \( b = 1 \), \( c = 0 \), dan \( d = \cos x \).

Maka:

\( \det(A) = (\sin x)(\cos x) - (1)(0) \).

\( \det(A) = \sin x \cos x \).

Langkah 2: Gunakan informasi \( \sin x = 2\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (karena sudut lancip maka \( \cos x \gt 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \Rightarrow \tan x = 2 \).

Langkah 3: Gunakan identitas dasar SMA.

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \).

Substitusi \( \tan x = 2 \):

\( \sec^2 x = 1 + 4 = 5 \).

Karena \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \), maka:

\( \cos^2 x = \frac{1}{5} \).

Karena sudut lancip, \( \cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

Langkah 4: Tentukan \( \sin x \).

\( \sin x = 2\cos x \).

\( \sin x = 2\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}} \).

Langkah 5: Hitung determinan.

\( \det(A) = \sin x \cos x \).

\( \det(A) = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \).

\( \det(A) = \frac{2}{5} \).

Jawaban: B

Diketahui:

\( \sin x = \dfrac{1}{2}\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{1}{2} \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( \tan x = \dfrac{1}{2} \).

Gunakan identitas dasar:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = \dfrac{1}{2} \):

\( 1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1+\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4} \).

Sehingga:

\( \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \cos^2 x = \dfrac{4}{5} \).

Karena \( \sin x = \dfrac{1}{2}\cos x \), maka:

\( \sin^2 x = \dfrac{1}{4}\cos^2 x \).

Substitusi \( \cos^2 x = \dfrac{4}{5} \):

\( \sin^2 x = \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{1}{5} \).

Karena \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \), maka:

\( \csc^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{5}} = 5 \).

Jadi nilai \( \csc^2 x \) adalah \( 5 \).

Jawaban yang benar adalah D.

Langkah 1: Tentukan nilai \( x \).

Diketahui \( \sin x = \cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (karena \( 0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} \), maka \( \cos x \gt 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \Rightarrow \tan x = 1 \).

Dalam trigonometri SMA, jika \( \tan x = 1 \) dan \( x \) di kuadran I, maka:

\( x = 45^\circ \) atau \( x = \frac{\pi}{4} \).

Uji Pernyataan (1):

Dari langkah di atas, benar bahwa \( \tan x = 1 \).

Jadi (1) benar.

Uji Pernyataan (2):

Gunakan rumus sudut rangkap:

\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).

Karena \( x = 45^\circ \), maka:

\( 2x = 90^\circ \).

\( \sin 2x = \sin 90^\circ = 1 \).

Jadi (2) benar.

Uji Pernyataan (3):

Gunakan rumus:

\( \cos 2x = \cos 90^\circ \).

Karena \( \cos 90^\circ = 0 \), maka:

\( \cos 2x = 0 \).

Jadi (3) juga benar.

Jawaban: D

Langkah 1: Gunakan identitas dasar SMA.

Diketahui \( \tan x = \sqrt{2} \).

Gunakan identitas:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \).

Hitung \( \tan^2 x \):

\( \tan^2 x = (\sqrt{2})^2 = 2 \).

Maka:

\( \sec^2 x = 1 + 2 = 3 \).

Karena \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \), maka:

\( \cos^2 x = \frac{1}{3} \).

Langkah 2: Gunakan identitas Pythagoras.

\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Substitusi \( \cos^2 x = \frac{1}{3} \):

\( \sin^2 x = 1 - \frac{1}{3} \).

\( \sin^2 x = \frac{2}{3} \).

Langkah 3: Bandingkan dengan \( Q \).

\( P = \frac{2}{3} \).

\( Q = \frac{2}{3} \).

Kesimpulan: \( P = Q \).

Jawaban: C

Diketahui:

\( \sin x = 3\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = 3 \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( \tan x = 3 \).

Gunakan identitas dasar:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 3 \):

\( 1+3^2 = 10 \).

Sehingga:

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \).

Karena \( \sin x = 3\cos x \), maka:

\( \sin^2 x = 9\cos^2 x = 9\left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{9}{10} \).

Sekarang hitung:

\( (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x \).

Diketahui:

\( \sin^2 x = \dfrac{9}{10} \)

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \)

\( \sin x \cos x = 3\cos^2 x = 3\left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{3}{10} \).

Maka:

\( (\sin x + \cos x)^2 = \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{10} + 2\left(\dfrac{3}{10}\right) \).

\( = 1 + \dfrac{6}{10} = 1 + 0,6 = 1,6 \).

Jadi nilainya adalah \( 1,6 \).

Jawaban yang benar adalah C.

Diketahui:

\( \sin x = 3\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = 3 \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( \tan x = 3 \).

Gunakan identitas dasar:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 3 \):

\( 1+3^2 = 10 \).

Maka:

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \).

Karena \( \sin x = 3\cos x \), maka:

\( \sin^2 x = 9\cos^2 x = 9\left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{9}{10} \).

Sekarang gunakan rumus kuadrat jumlah:

\( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \).

Sehingga:

\( (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x \).

Diketahui:

\( \sin^2 x = \dfrac{9}{10} \)

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{10} \)

\( \sin x\cos x = 3\cos^2 x = 3\left(\dfrac{1}{10}\right) = \dfrac{3}{10} \).

Maka:

\( (\sin x + \cos x)^2 = \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{10} + 2\left(\dfrac{3}{10}\right) \).

\( = 1 + \dfrac{6}{10} = 1 + 0,6 = 1,6 \).

Jadi nilai yang diperoleh adalah \( 1,6 \).

Jawaban yang benar adalah C.

Langkah 1: Tentukan nilai \( \sin x \).

Diketahui \( \tan x = 1 \) dan \( x \) sudut lancip.

Maka:

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \Rightarrow \sin x = \cos x \).

Untuk sudut lancip, hal ini terjadi saat:

\( x = 45^\circ \) atau \( x = \frac{\pi}{4} \).

Sehingga:

\( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Langkah 2: Hitung \( \sin^2 x \).

\( \sin^2 x = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \).

\( \sin^2 x = \frac{1}{2} \).

Langkah 3: Bentuk deret tak hingga.

Ekspresi:

\( 1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \sin^6 x + \ldots \)

Karena \( \sin^2 x = \frac{1}{2} \), maka deret menjadi:

\( 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \ldots \)

Ini adalah deret geometri tak hingga dengan:

Suku pertama \( a = 1 \)

Rasio \( r = \frac{1}{2} \)

Rumus jumlah deret geometri tak hingga (SMA):

\( S = \frac{a}{1-r} \) untuk \( |r| \lt 1 \).

Langkah 4: Hitung jumlahnya.

\( S = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \).

\( S = \frac{1}{\frac{1}{2}} \).

\( S = 2 \).

Jawaban: C

Langkah 1: Ubah ke bentuk \( \tan x \).

Diketahui \( \sin x = 4\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (diasumsikan \( \cos x \neq 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 4 \Rightarrow \tan x = 4 \).

Langkah 2: Gunakan identitas sudut rangkap.

Rumus SMA:

\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).

Langkah 3: Tentukan \( \sin x \) dan \( \cos x \).

Gunakan identitas:

\( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \).

Karena \( \tan x = 4 \):

\( \tan^2 x = 16 \).

\( \sec^2 x = 1 + 16 = 17 \).

Karena \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \), maka:

\( \cos^2 x = \frac{1}{17} \).

Sehingga (untuk sudut lancip):

\( \cos x = \frac{1}{\sqrt{17}} \).

\( \sin x = 4\cos x = \frac{4}{\sqrt{17}} \).

Langkah 4: Hitung \( \sin 2x \).

\( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).

\( \sin 2x = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} \).

\( \sin 2x = \frac{8}{17} \).

Langkah 5: Bandingkan dengan \( Q \).

\( Q = 0,5 = \frac{1}{2} = \frac{8,5}{17} \).

Karena \( \frac{8}{17} \lt \frac{8,5}{17} \), maka:

\( Q \gt P \).

Jawaban: B

Diketahui:

\( \sin x = 2\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = 2 \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( \tan x = 2 \).

Gunakan identitas dasar:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = 2 \):

\( 1+2^2 = 1+4 = 5 \).

Jadi:

\( \dfrac{1}{\cos^2 x} = 5 \).

Dari soal sebelumnya atau dari hubungan \( \sin x = 2\cos x \):

\( \sin^2 x = 4\cos^2 x \).

Karena \( \cos^2 x = \dfrac{1}{5} \), maka:

\( \sin^2 x = 4\left(\dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{4}{5} \).

Sehingga:

\( \dfrac{1}{\sin^2 x} = \dfrac{1}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{5}{4} = 1,25 \).

Maka nilai yang ditanyakan:

\( \dfrac{1}{\cos^2 x} - \dfrac{1}{\sin^2 x} = 5 - 1,25 = 3,75 \).

Jadi nilainya adalah \( 3,75 \).

Jawaban yang benar adalah B.

Diketahui:

\( \sin x = \sqrt{2}\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (dengan syarat \( \cos x \ne 0 \)):

\( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{2} \).

Karena \( \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x \), maka:

\( \tan x = \sqrt{2} \).

Gunakan identitas:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = \sqrt{2} \):

\( 1+(\sqrt{2})^2 = 1+2 = 3 \).

Maka:

\( \cos^2 x = \dfrac{1}{3} \).

Gunakan rumus sudut ganda:

\( \cos 2x = \dfrac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = \sqrt{2} \):

\( \cos 2x = \dfrac{1-2}{1+2} = \dfrac{-1}{3} = -\dfrac{1}{3} \).

Jadi nilai \( \cos 2x \) adalah \( -\dfrac{1}{3} \).

Jawaban yang benar adalah C.

Langkah 1: Gunakan petunjuk turunan.

Diketahui:

\( f(x) = \sin x \cdot \cos x \).

Rumus turunan hasil kali atau identitas sudut rangkap memberi:

\( f'(x) = \cos 2x \).

Langkah 2: Gunakan identitas \( \cos 2x \).

Rumus SMA:

\( \cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \).

Langkah 3: Substitusi \( \tan x = 2 \).

\( \tan^2 x = 4 \).

Maka:

\( \cos 2x = \frac{1 - 4}{1 + 4} \).

\( \cos 2x = \frac{-3}{5} \).

Langkah 4: Ubah ke bentuk desimal.

\( \frac{-3}{5} = -0,6 \).

Jawaban: A

Langkah 1: Ubah informasi menjadi \( \tan x \).

Diketahui \( \sin x = 3\cos x \).

Bagi kedua ruas dengan \( \cos x \) (karena \( x \) lancip maka \( \cos x \gt 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \).

Langkah 2: Cari \( \sin^2 x \) dari \( \tan x \).

Gunakan identitas SMA:

\( 1+\tan^2 x = \sec^2 x \) dan \( \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \).

Karena \( \tan x = 3 \), maka:

\( \sec^2 x = 1+3^2 = 10 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{10} \).

Lalu gunakan \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\( \sin^2 x = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \).

Langkah 3: Hitung \( P \) dan bandingkan dengan \( Q \).

\( P = 2\sin^2 x = 2 \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{10} = 1,8 \).

\( Q = 1,5 \).

Karena \( 1,8 \gt 1,5 \), maka:

\( P \gt Q \).

Jawaban: A

Diketahui \( \tan x = p \).

Ingat bahwa \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \), sehingga:

\( \sin x = p\cos x \).

Maka hasil kali:

\( \sin x \cdot \cos x = (p\cos x)(\cos x) = p\cos^2 x \).

Sekarang cari \( \cos^2 x \) dalam \(p\).

Gunakan identitas:

\( 1+\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} \).

Substitusi \( \tan x = p \):

\( 1+p^2 = \dfrac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow \cos^2 x = \dfrac{1}{1+p^2} \).

Maka:

\( \sin x \cdot \cos x = p\left(\dfrac{1}{1+p^2}\right) = \dfrac{p}{1+p^2} \).

Karena yang ditanya \( \dfrac{1}{\sin x \cdot \cos x} \), maka:

\( \dfrac{1}{\sin x \cdot \cos x} = \dfrac{1}{\dfrac{p}{1+p^2}} = \dfrac{1+p^2}{p} \).

Uraikan:

\( \dfrac{1+p^2}{p} = \dfrac{1}{p} + p \).

Jadi bentuknya adalah \( p + \dfrac{1}{p} \).

Jawaban yang benar adalah A.