No 1
Di perusahaan XYZ, bonus tahunan bagi para staf dihitung melalui diagram alir dan ketentuan di bawah ini.
- Masa Kerja (M): Durasi pengabdian staf, dihitung dalam satuan bulan.
- Status Karyawan (S): Kategori kepegawaian, meliputi Permanen, Kontrak, atau Magang.
- Penilaian Kinerja (P): Indeks performa staf dengan rentang skor \( 1 \)–\( 10 \).
- Gaji Pokok (G): Upah dasar bulanan yang diterima staf, dalam Rupiah.
- Bonus Dasar (\( B_{dasar} \)): Nilai bonus awal sebelum adanya penyesuaian lebih lanjut.
Adapun rumus yang relevan dalam proses ini adalah:
- Faktor Pengali (F): \( F = \dfrac{P}{10} + \dfrac{M}{120} \)
- Bonus Akhir (\( B_{akhir} \)): Nilai bonus final yang perhitungannya bergantung pada status kepegawaian dan variabel lainnya.
Empat orang staf dari PT XYZ, yakni Andi, Budi, Citra, dan Doni, sedang dalam proses evaluasi untuk bonus akhir tahun. Rekapitulasi data keempatnya disajikan sebagai berikut:
| Nama | Masa Kerja (M) | Penilaian Kinerja (P) | Status (S) |
|---|---|---|---|
| Andi | 5 bulan | 8 | Permanen |
| Budi | 12 bulan | 5 | Kontrak |
| Citra | 7 bulan | 6 | Permanen |
| Doni | 24 bulan | 4 | Permanen |
Mengacu pada diagram alir yang ada, staf manakah yang pada akhirnya dinyatakan tidak memenuhi syarat untuk menerima bonus?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Cek syarat masa kerja pada diagram
Pada diagram terdapat keputusan: \( M \ge 6 \) ?
- Andi: \( M = 5 \) → \( 5 \lt 6 \) → masuk cabang “Tidak” → Tidak Layak Dapat Bonus.
- Budi: \( M = 12 \) → \( 12 \ge 6 \) → lanjut.
- Citra: \( M = 7 \) → \( 7 \ge 6 \) → lanjut.
- Doni: \( M = 24 \) → \( 24 \ge 6 \) → lanjut.
Langkah 2: Cek syarat penilaian kinerja pada diagram
Setelah \( M \ge 6 \) terpenuhi, diagram memeriksa: \( P \gt 5 \) ?
- Budi: \( P = 5 \) → \( 5 \) tidak memenuhi \( P \gt 5 \) → masuk cabang “Tidak” → Tidak Layak Dapat Bonus.
- Citra: \( P = 6 \) → \( 6 \gt 5 \) → lanjut proses bonus.
- Doni: \( P = 4 \) → \( 4 \lt 5 \) → tidak memenuhi \( P \gt 5 \) → masuk cabang “Tidak” → Tidak Layak Dapat Bonus.
Kesimpulan sesuai diagram
Staf yang dinyatakan tidak memenuhi syarat menerima bonus adalah: Andi, Budi, dan Doni.
No 2
Di perusahaan XYZ, bonus tahunan bagi para staf dihitung melalui diagram alir dan ketentuan di bawah ini.
- Masa Kerja (M): Durasi pengabdian staf, dihitung dalam satuan bulan.
- Status Karyawan (S): Kategori kepegawaian, meliputi Permanen, Kontrak, atau Magang.
- Penilaian Kinerja (P): Indeks performa staf dengan rentang skor \( 1 \)–\( 10 \).
- Gaji Pokok (G): Upah dasar bulanan yang diterima staf, dalam Rupiah.
- Bonus Dasar (\( B_{dasar} \)): Nilai bonus awal sebelum adanya penyesuaian lebih lanjut.
Adapun rumus yang relevan dalam proses ini adalah:
- Faktor Pengali (F): \( F = \dfrac{P}{10} + \dfrac{M}{120} \)
- Bonus Akhir (\( B_{akhir} \)): Nilai bonus final yang perhitungannya bergantung pada status kepegawaian dan variabel lainnya.
Fikri, seorang staf berstatus kontrak, telah mengabdi selama 36 bulan dan mendapatkan skor kinerja 8. Gaji pokok bulanannya adalah Rp6.000.000,-. Berapakah nominal bonus akhir tahun yang akan didapatkan oleh Fikri?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1 (sesuai diagram): cek masa kerja
Diagram memeriksa \( M \ge 6 \) ?
\( M = 36 \), sehingga \( 36 \ge 6 \) (memenuhi) → lanjut.
Langkah 2 (sesuai diagram): cek penilaian kinerja
Diagram memeriksa \( P \gt 5 \) ?
\( P = 8 \), sehingga \( 8 \gt 5 \) (memenuhi) → lanjut.
Langkah 3 (sesuai diagram): hitung bonus dasar
\( B_{dasar} = 1.5 \times G \)
\( B_{dasar} = 1.5 \times 6.000.000 \)
\( B_{dasar} = 9.000.000 \)
Langkah 4 (sesuai diagram): tentukan bonus akhir berdasarkan status
Status Fikri adalah Kontrak, maka pada diagram digunakan:
\( B_{akhir} = 0.75 \times B_{dasar} \)
\( B_{akhir} = 0.75 \times 9.000.000 \)
\( B_{akhir} = 6.750.000 \)
Jadi, nominal bonus akhir tahun Fikri adalah Rp6.750.000,-.
No 3
Di perusahaan XYZ, bonus tahunan bagi para staf dihitung melalui diagram alir dan ketentuan di bawah ini.
- Masa Kerja (M): Durasi pengabdian staf, dihitung dalam satuan bulan.
- Status Karyawan (S): Kategori kepegawaian, meliputi Permanen, Kontrak, atau Magang.
- Penilaian Kinerja (P): Indeks performa staf dengan rentang skor \( 1 \)–\( 10 \).
- Gaji Pokok (G): Upah dasar bulanan yang diterima staf, dalam Rupiah.
- Bonus Dasar (\( B_{dasar} \)): Nilai bonus awal sebelum adanya penyesuaian lebih lanjut.
Adapun rumus yang relevan dalam proses ini adalah:
- Faktor Pengali (F): \( F = \dfrac{P}{10} + \dfrac{M}{120} \)
- Bonus Akhir (\( B_{akhir} \)): Nilai bonus final yang perhitungannya bergantung pada status kepegawaian dan variabel lainnya.
Rina, seorang staf permanen dengan masa kerja 5 tahun, menerima gaji pokok Rp10.000.000,- per bulan. Setelah seluruh proses perhitungan selesai, ia menerima bonus akhir tahun sebesar Rp16.500.000,-. Berapakah skor kinerja \( (P) \) yang diperoleh Rina?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Ubah masa kerja ke dalam bulan
Karena \( M \) dalam satuan bulan, maka:
\( M = 5 \times 12 \)
\( M = 60 \)
Periksa syarat pada diagram:
\( 60 \ge 6 \) → memenuhi.
Langkah 2: Hitung Bonus Dasar
Sesuai diagram:
\( B_{dasar} = 1.5 \times G \)
\( B_{dasar} = 1.5 \times 10.000.000 \)
\( B_{dasar} = 15.000.000 \)
Langkah 3: Karena status Permanen
Sesuai diagram:
Hitung Faktor Pengali \( (F) \)
\( B_{akhir} = F \times B_{dasar} \)
Diketahui:
\( 16.500.000 = F \times 15.000.000 \)
Sehingga:
\( F = \dfrac{16.500.000}{15.000.000} \)
\( F = 1.1 \)
Langkah 4: Gunakan rumus Faktor Pengali
\( F = \dfrac{P}{10} + \dfrac{M}{120} \)
\( 1.1 = \dfrac{P}{10} + \dfrac{60}{120} \)
\( \dfrac{60}{120} = 0.5 \)
Maka:
\( 1.1 = \dfrac{P}{10} + 0.5 \)
\( \dfrac{P}{10} = 1.1 - 0.5 \)
\( \dfrac{P}{10} = 0.6 \)
\( P = 6 \)
Jadi, skor kinerja Rina adalah 6.
No 4
Di perusahaan XYZ, bonus tahunan bagi para staf dihitung melalui diagram alir dan ketentuan di bawah ini.
- Masa Kerja (M): Durasi pengabdian staf, dihitung dalam satuan bulan.
- Status Karyawan (S): Kategori kepegawaian, meliputi Permanen, Kontrak, atau Magang.
- Penilaian Kinerja (P): Indeks performa staf dengan rentang skor \( 1 \)–\( 10 \).
- Gaji Pokok (G): Upah dasar bulanan yang diterima staf, dalam Rupiah.
- Bonus Dasar (\( B_{dasar} \)): Nilai bonus awal sebelum adanya penyesuaian lebih lanjut.
Adapun rumus yang relevan dalam proses ini adalah:
- Faktor Pengali (F): \( F = \dfrac{P}{10} + \dfrac{M}{120} \)
- Bonus Akhir (\( B_{akhir} \)): Nilai bonus final yang perhitungannya bergantung pada status kepegawaian dan variabel lainnya.
Cermati ketiga pernyataan berikut berdasarkan diagram alir dan aturan yang ada.
| No. | Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|---|
| (i) | Jika sama-sama dianggap layak, seorang staf permanen dan staf kontrak yang memiliki gaji pokok identik pasti akan memperoleh nilai Bonus Dasar (\( B_{dasar} \)) yang sama pula. | ||
| (ii) | Bagi staf permanen, tambahan 1 poin pada skor kinerja (\( P \)) akan selalu menghasilkan kenaikan bonus yang lebih signifikan dibandingkan tambahan masa kerja (\( M \)) selama 1 tahun. | ||
| (iii) | Dengan asumsi gaji pokok yang sama, tidak mungkin bonus akhir yang diterima staf permanen lebih rendah daripada bonus yang diterima staf kontrak. |
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Pernyataan (i)
Pada diagram, jika staf dinyatakan layak maka dihitung:
\( B_{dasar} = 1.5 \times G \)
Rumus \( B_{dasar} \) hanya bergantung pada \( G \), tidak bergantung pada status \( S \).
Jika gaji pokok identik, maka:
\( B_{dasar} \) akan sama.
Jadi, pernyataan (i) Benar.
Pernyataan (ii)
Untuk staf permanen:
\( B_{akhir} = F \times B_{dasar} \)
Dengan:
\( F = \dfrac{P}{10} + \dfrac{M}{120} \)
Tambahan 1 poin \( P \) menyebabkan kenaikan:
\( \Delta F = \dfrac{1}{10} \)
Tambahan 1 tahun masa kerja berarti tambahan 12 bulan:
\( \Delta F = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10} \)
Keduanya menghasilkan kenaikan yang sama besar pada \( F \).
Jadi, pernyataan (ii) Salah.
Pernyataan (iii)
Staf permanen:
\( B_{akhir} = F \times B_{dasar} \)
Staf kontrak:
\( B_{akhir} = 0.75 \times B_{dasar} \)
Jika staf permanen memiliki nilai \( F \lt 0.75 \), maka:
\( F \times B_{dasar} \lt 0.75 \times B_{dasar} \)
Artinya bonus permanen bisa lebih kecil daripada kontrak.
Jadi, pernyataan (iii) Salah.
Kesimpulan:
- (i) Benar
- (ii) Salah
- (iii) Salah
No 5
Sebuah jembatan layang menghubungkan dua menara, yakni Menara A dan Menara B, yang terpisah sejauh 120 meter. Bagian atap jembatan dirancang dengan struktur penyangga utama berbentuk busur parabola. Puncak tertinggi busur parabola tersebut berada tepat di tengah-tengah, dengan ketinggian 15 meter di atas lantai jembatan. Lantai jembatan dianggap sebagai sumbu-\( x \), dengan titik awal berada di Menara A (\( x = 0 \)) dan titik akhir di Menara B (\( x = 120 \)).
Untuk memperkuat struktur, sebuah balok baja horizontal dipasang untuk menghubungkan dua titik pada busur parabola. Jika panjang total balok baja tersebut adalah 80 meter, pada ketinggian berapa (diukur dari lantai jembatan) balok tersebut harus dipasang?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Menentukan persamaan parabola
Diketahui puncak parabola berada di titik \( (60,15) \) dan melalui titik \( (0,0) \) serta \( (120,0) \).
Bentuk umum parabola dengan puncak di \( (h,k) \):
\( y = a(x - h)^2 + k \)
Sehingga:
\( y = a(x - 60)^2 + 15 \)
Karena melalui titik \( (0,0) \), maka:
\( 0 = a(0 - 60)^2 + 15 \)
\( 0 = 3600a + 15 \)
\( 3600a = -15 \)
\( a = -\dfrac{15}{3600} \)
\( a = -\dfrac{1}{240} \)
Maka persamaan parabola:
\( y = -\dfrac{1}{240}(x - 60)^2 + 15 \)
Langkah 2: Menentukan titik-titik yang dihubungkan balok
Balok baja horizontal panjangnya 80 meter.
Artinya jarak mendatar antara dua titik pada parabola adalah:
\( x_2 - x_1 = 80 \)
Karena parabola simetris terhadap \( x = 60 \), maka:
\( x_1 = 60 - 40 \)
\( x_2 = 60 + 40 \)
\( x_1 = 20 \)
\( x_2 = 100 \)
Langkah 3: Menghitung tinggi balok
Substitusi \( x = 20 \) ke persamaan parabola:
\( y = -\dfrac{1}{240}(20 - 60)^2 + 15 \)
\( y = -\dfrac{1}{240}(-40)^2 + 15 \)
\( y = -\dfrac{1}{240}(1600) + 15 \)
\( y = -\dfrac{1600}{240} + 15 \)
\( y = -6\frac{2}{3} + 15 \)
\( y = 8\frac{1}{3} \)
\( y = \dfrac{25}{3} \)
Kesimpulan
Balok baja harus dipasang pada ketinggian:
\( \dfrac{25}{3} \) meter di atas lantai jembatan.
No 6
Sebuah jembatan layang menghubungkan dua menara yakni Menara A dan Menara B yang terpisah sejauh 120 meter. Bagian atap jembatan dirancang dengan struktur penyangga utama berbentuk busur parabola. Puncak tertinggi busur parabola tersebut berada tepat di tengah-tengah dengan ketinggian 15 meter di atas lantai jembatan. Lantai jembatan dianggap sebagai sumbu-\( x \), dengan titik awal berada di Menara A (\( x = 0 \)) dan titik akhir di Menara B (\( x = 120 \)).
Untuk mengestimasi beban, tim survei mengumpulkan data jumlah pejalan kaki per jam di area sekitar pada hari kerja. Dari hasil survei, diketahui bahwa rata-rata berat badan seorang pejalan kaki adalah 60 kg. Data jumlah pejalan kaki disajikan dalam tabel berikut:
| Waktu | Jumlah Pejalan Kaki |
|---|---|
| 08:00 - 10:00 | 450 |
| 10:00 - 12:00 | 300 |
| 12:00 - 14:00 | 745 |
| 14:00 - 16:00 | 400 |
| 16:00 - 18:00 | 600 |
Pihak pengelola menetapkan aturan bahwa beban keseluruhan pejalan kaki di atas jembatan tidak boleh melebihi 30% dari estimasi beban maksimum pada jam puncak (12:00–14:00). Jika pada suatu waktu terdapat 120 pria dan sejumlah wanita di jembatan, dan rata-rata berat pria adalah 65 kg sedangkan wanita 55 kg, maka jumlah maksimum wanita yang diizinkan berada di jembatan adalah ... orang.
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Hitung beban maksimum pada jam puncak
Jam puncak: 12:00–14:00
Jumlah pejalan kaki = 745 orang
Rata-rata berat = 60 kg
Total beban maksimum:
\( 745 \times 60 \)
\( = 44.700 \) kg
Langkah 2: Hitung batas 30% dari beban maksimum
\( 30\% = \dfrac{30}{100} \)
Beban yang diizinkan:
\( \dfrac{30}{100} \times 44.700 \)
\( = 13.410 \) kg
Langkah 3: Hitung beban 120 pria
\( 120 \times 65 \)
\( = 7.800 \) kg
Langkah 4: Misalkan jumlah wanita = \( x \)
Total beban tidak boleh melebihi 13.410 kg:
\( 7.800 + 55x \le 13.410 \)
\( 55x \le 13.410 - 7.800 \)
\( 55x \le 5.610 \)
\( x \le \dfrac{5.610}{55} \)
\( x \le 102 \)
Kesimpulan:
Jumlah maksimum wanita yang diizinkan berada di jembatan adalah 102 orang.
No 7
Sebuah jembatan layang menghubungkan dua menara yakni Menara A dan Menara B yang terpisah sejauh 120 meter. Bagian atap jembatan dirancang dengan struktur penyangga utama berbentuk busur parabola. Puncak tertinggi busur parabola tersebut berada tepat di tengah-tengah dengan ketinggian 15 meter di atas lantai jembatan. Lantai jembatan dianggap sebagai sumbu-\( x \), dengan titik awal berada di Menara A (\( x = 0 \)) dan titik akhir di Menara B (\( x = 120 \)).
Fungsi kuadrat yang paling tepat untuk menggambarkan bentuk busur parabola atap jembatan layang adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Tentukan titik penting pada parabola
Diketahui:
- Puncak di \( (60,15) \)
- Melalui titik \( (0,0) \)
- Melalui titik \( (120,0) \)
Langkah 2: Gunakan bentuk puncak fungsi kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat dengan puncak \( (h,k) \) adalah:
\( y = a(x - h)^2 + k \)
Karena puncak di \( (60,15) \), maka:
\( y = a(x - 60)^2 + 15 \)
Langkah 3: Substitusi titik \( (0,0) \)
\( 0 = a(0 - 60)^2 + 15 \)
\( 0 = 3600a + 15 \)
\( 3600a = -15 \)
\( a = -\dfrac{15}{3600} \)
\( a = -\dfrac{1}{240} \)
Langkah 4: Tulis fungsi kuadratnya
\( y = -\dfrac{1}{240}(x - 60)^2 + 15 \)
Inilah fungsi kuadrat yang menggambarkan busur parabola jembatan layang tersebut.
No 8
Sebuah yayasan lingkungan, "Hutan Asri", meluncurkan program reforestasi di lahan kritis seluas 10 hektare. Dua jenis pohon utama yang ditanam adalah Mahoni dan Jati. Berdasarkan penelitian, model matematika sederhana untuk pertumbuhan tinggi masing-masing pohon (dalam meter) setelah ditanam adalah sebagai berikut, dengan \( t \) adalah waktu dalam tahun:
- Tinggi Mahoni: \( H_M(t) = \sqrt{t} + 1 \)
- Tinggi Jati: \( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Kemampuan sebuah pohon menyerap emisi karbon \( (CO_2) \) per tahun sangat bergantung pada ketinggiannya. Tim peneliti telah menyusun tabel estimasi penyerapan karbon tahunan berdasarkan tinggi pohon.
Tabel Penyerapan Karbon Dioksida Berdasarkan Tinggi Pohon
| Tinggi Pohon (h) | Penyerapan \( CO_2 \) (kg/tahun) |
|---|---|
| \( h \lt 2 \) m | 5 |
| \( 2 \le h \lt 3 \) m | 8 |
| \( 3 \le h \lt 4 \) m | 12 |
| \( 4 \le h \lt 5 \) m | 15 |
| \( h \ge 5 \) m | 20 |
Biaya pengadaan satu bibit Mahoni adalah Rp 150.000, sedangkan satu bibit Jati adalah Rp 200.000.
Pembahasan Model Pertumbuhan (klik)
Memahami model tinggi Mahoni
\( H_M(t) = \sqrt{t} + 1 \)
Artinya tinggi awal saat \( t = 0 \):
\( H_M(0) = \sqrt{0} + 1 \)
\( H_M(0) = 1 \) meter
Memahami model tinggi Jati
\( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Tinggi awal saat \( t = 0 \):
\( H_J(0) = 0.5(0) + 1 \)
\( H_J(0) = 1 \) meter
Kedua model mengikuti bentuk fungsi sesuai materi SMA:
- Mahoni → fungsi akar
- Jati → fungsi linear
No 9
Sebuah yayasan lingkungan "Hutan Asri" meluncurkan program reforestasi di lahan kritis seluas 10 hektare. Dua jenis pohon utama yang ditanam adalah Mahoni dan Jati. Berdasarkan penelitian, model matematika sederhana untuk pertumbuhan tinggi masing-masing pohon (dalam meter) setelah ditanam adalah sebagai berikut, dengan \( t \) adalah waktu dalam tahun:
- Tinggi Mahoni: \( H_M(t) = \sqrt{t} + 1 \)
- Tinggi Jati: \( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Kemampuan sebuah pohon menyerap emisi karbon \( (CO_2) \) per tahun sangat bergantung pada ketinggiannya. Tim peneliti telah menyusun tabel estimasi penyerapan karbon tahunan berdasarkan tinggi pohon.
Tabel Penyerapan Karbon Dioksida Berdasarkan Tinggi Pohon
| Tinggi Pohon (h) | Penyerapan \( CO_2 \) (kg/tahun) |
|---|---|
| \( h \lt 2 \) m | 5 |
| \( 2 \le h \lt 3 \) m | 8 |
| \( 3 \le h \lt 4 \) m | 12 |
| \( 4 \le h \lt 5 \) m | 15 |
| \( h \ge 5 \) m | 20 |
Biaya pengadaan satu bibit Mahoni adalah Rp 150.000, sedangkan satu bibit Jati adalah Rp 200.000.
Pihak yayasan menargetkan pohon Jati dapat mencapai tinggi minimal 7 meter untuk keperluan tertentu. Waktu paling cepat yang dibutuhkan setelah penanaman agar target tersebut tercapai adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Gunakan model tinggi Jati
\( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Target tinggi minimal 7 meter berarti:
\( 0.5t + 1 \ge 7 \)
Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan
\( 0.5t \ge 7 - 1 \)
\( 0.5t \ge 6 \)
\( t \ge \dfrac{6}{0.5} \)
\( t \ge 12 \)
Kesimpulan
Waktu paling cepat agar tinggi pohon Jati mencapai minimal 7 meter adalah 12 tahun.
No 10
Sebuah yayasan lingkungan, "Hutan Asri", meluncurkan program reforestasi di lahan kritis seluas 10 hektare. Dua jenis pohon utama yang ditanam adalah Mahoni dan Jati. Berdasarkan penelitian, model matematika sederhana untuk pertumbuhan tinggi masing-masing pohon (dalam meter) setelah ditanam adalah sebagai berikut, dengan \( t \) adalah waktu dalam tahun:
- Tinggi Mahoni: \( H_M(t) = \sqrt{t} + 1 \)
- Tinggi Jati: \( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Kemampuan sebuah pohon menyerap emisi karbon \( (CO_2) \) per tahun sangat bergantung pada ketinggiannya. Tim peneliti telah menyusun tabel estimasi penyerapan karbon tahunan berdasarkan tinggi pohon.
Tabel Penyerapan Karbon Dioksida Berdasarkan Tinggi Pohon
| Tinggi Pohon (h) | Penyerapan \( CO_2 \) (kg/tahun) |
|---|---|
| \( h \lt 2 \) m | 5 |
| \( 2 \le h \lt 3 \) m | 8 |
| \( 3 \le h \lt 4 \) m | 12 |
| \( 4 \le h \lt 5 \) m | 15 |
| \( h \ge 5 \) m | 20 |
Biaya pengadaan satu bibit Mahoni adalah Rp 150.000, sedangkan satu bibit Jati adalah Rp 200.000.
Jika di sebuah area konservasi khusus hanya ditanam satu pohon Mahoni dan satu pohon Jati, pada tahun keberapa untuk pertama kalinya total estimasi penyerapan karbon tahunan dari kedua pohon tersebut secara gabungan melampaui 20 kg?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Tulis model tinggi masing-masing pohon
\( H_M(t) = \sqrt{t} + 1 \)
\( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Langkah 2: Tentukan tinggi pada beberapa tahun awal
Untuk \( t = 0 \):
\( H_M(0) = 1 \), sehingga \( h \lt 2 \) → penyerapan = 5
\( H_J(0) = 1 \), sehingga \( h \lt 2 \) → penyerapan = 5
Total = \( 5 + 5 = 10 \)
Untuk \( t = 1 \):
\( H_M(1) = \sqrt{1} + 1 = 2 \), sehingga \( 2 \le h \lt 3 \) → 8
\( H_J(1) = 0.5(1) + 1 = 1.5 \), sehingga \( h \lt 2 \) → 5
Total = \( 8 + 5 = 13 \)
Untuk \( t = 4 \):
\( H_M(4) = \sqrt{4} + 1 = 3 \), sehingga \( 3 \le h \lt 4 \) → 12
\( H_J(4) = 0.5(4) + 1 = 3 \), sehingga \( 3 \le h \lt 4 \) → 12
Total = \( 12 + 12 = 24 \)
Karena \( 24 \gt 20 \), maka pada tahun ke-4 total penyerapan pertama kali melampaui 20 kg.
Kesimpulan:
Total estimasi penyerapan karbon tahunan pertama kali melampaui 20 kg pada tahun ke-4.
No 11
Sebuah yayasan lingkungan, "Hutan Asri", meluncurkan program reforestasi di lahan kritis seluas 10 hektare. Dua jenis pohon utama yang ditanam adalah Mahoni dan Jati. Berdasarkan penelitian, model matematika sederhana untuk pertumbuhan tinggi masing-masing pohon (dalam meter) setelah ditanam adalah sebagai berikut, dengan \( t \) adalah waktu dalam tahun:
- Tinggi Mahoni: \( H_M(t) = \sqrt{t} + 1 \)
- Tinggi Jati: \( H_J(t) = 0.5t + 1 \)
Kemampuan sebuah pohon menyerap emisi karbon \( (CO_2) \) per tahun sangat bergantung pada ketinggiannya. Tim peneliti telah menyusun tabel estimasi penyerapan karbon tahunan berdasarkan tinggi pohon.
Tabel Penyerapan Karbon Dioksida Berdasarkan Tinggi Pohon
| Tinggi Pohon (h) | Penyerapan \( CO_2 \) (kg/tahun) |
|---|---|
| \( h \lt 2 \) m | 5 |
| \( 2 \le h \lt 3 \) m | 8 |
| \( 3 \le h \lt 4 \) m | 12 |
| \( 4 \le h \lt 5 \) m | 15 |
| \( h \ge 5 \) m | 20 |
Biaya pengadaan satu bibit Mahoni adalah Rp 150.000, sedangkan satu bibit Jati adalah Rp 200.000.
Yayasan memiliki anggaran Rp 21.000.000 untuk menanam 120 pohon. Untuk memaksimalkan total penyerapan karbon tahunan pada tahun ke-9, kombinasi jumlah pohon Mahoni \( (M) \) dan Jati \( (J) \) yang harus ditanam adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Hitung tinggi masing-masing pohon pada tahun ke-9
\( H_M(9) = \sqrt{9} + 1 \)
\( H_M(9) = 3 + 1 \)
\( H_M(9) = 4 \)
Karena \( 4 \le h \lt 5 \), maka penyerapan Mahoni = 15 kg/tahun.
\( H_J(9) = 0.5(9) + 1 \)
\( H_J(9) = 4.5 + 1 \)
\( H_J(9) = 5.5 \)
Karena \( h \ge 5 \), maka penyerapan Jati = 20 kg/tahun.
Langkah 2: Misalkan jumlah Mahoni = \( M \) dan Jati = \( J \)
Jumlah pohon:
\( M + J = 120 \)
Batas anggaran:
\( 150.000M + 200.000J \le 21.000.000 \)
Bagi kedua ruas dengan 50.000:
\( 3M + 4J \le 420 \)
Langkah 3: Maksimalkan total penyerapan
Total penyerapan:
\( 15M + 20J \)
Karena 20 lebih besar dari 15, maka agar maksimum, nilai \( J \) harus sebesar mungkin.
Dari:
\( M = 120 - J \)
Substitusi ke anggaran:
\( 3(120 - J) + 4J \le 420 \)
\( 360 - 3J + 4J \le 420 \)
\( 360 + J \le 420 \)
\( J \le 60 \)
Maka maksimum \( J = 60 \)
\( M = 120 - 60 \)
\( M = 60 \)
Kesimpulan
Kombinasi optimal adalah:
\( M = 60 \) dan \( J = 60 \)
No 12
Perusahaan mobil listrik E-Motion meluncurkan model E-Motion One yang menggunakan baterai berkapasitas awal 80 kWh. Berdasarkan data pemakaian jangka panjang, teknisi menemukan bahwa kapasitas maksimum baterai menurun secara proporsional setiap 10 tahun dan dapat dimodelkan sebagai barisan geometri. Setelah 20 tahun penggunaan, kapasitasnya tercatat 51,2 kWh, dan setelah 30 tahun kapasitasnya turun menjadi 40,96 kWh. Baterai dianggap tidak layak digunakan jika kapasitasnya berada di bawah 40 kWh.
Selain itu, harga mobil E-Motion One juga menurun seiring waktu. Harga awal sebesar 600 juta rupiah menurun menjadi 480 juta rupiah setelah 10 tahun, dan 384 juta rupiah setelah 20 tahun.
Model matematis dari kapasitas baterai \( B(t) \) dan harga mobil \( H(t) \) setiap 10 tahun adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Bagian 1: Model kapasitas baterai
Diketahui kapasitas awal:
\( B(0) = 80 \)
Setelah 20 tahun:
\( B(20) = 51,2 \)
Karena berbentuk barisan geometri setiap 10 tahun, misalkan rasio = \( r \).
Maka:
\( 80r^2 = 51,2 \)
\( r^2 = \dfrac{51,2}{80} \)
\( r^2 = 0,64 \)
\( r = 0,8 \)
Maka model kapasitas baterai:
\( B(t) = 80(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
Bagian 2: Model harga mobil
Diketahui:
\( H(0) = 600 \)
\( H(10) = 480 \)
Rasio penurunan:
\( r = \dfrac{480}{600} \)
\( r = 0,8 \)
Maka model harga mobil:
\( H(t) = 600(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
Kesimpulan
Model matematisnya adalah:
\( B(t) = 80(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
\( H(t) = 600(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
No 13
Perusahaan mobil listrik E-Motion meluncurkan model E-Motion One yang menggunakan baterai berkapasitas awal 80 kWh. Berdasarkan data pemakaian jangka panjang, teknisi menemukan bahwa kapasitas maksimum baterai menurun secara proporsional setiap 10 tahun dan dapat dimodelkan sebagai barisan geometri. Setelah 20 tahun penggunaan, kapasitasnya tercatat 51,2 kWh, dan setelah 30 tahun kapasitasnya turun menjadi 40,96 kWh. Baterai dianggap tidak layak digunakan jika kapasitasnya berada di bawah 40 kWh.
Selain itu, harga mobil E-Motion One juga menurun seiring waktu. Harga awal sebesar 600 juta rupiah menurun menjadi 480 juta rupiah setelah 10 tahun, dan 384 juta rupiah setelah 20 tahun.
Jika perusahaan baterai membeli mobil E-Motion One pada tahun ke-30, berapakah persentase kapasitas baterai dibandingkan kapasitas awal?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Tentukan kapasitas awal dan kapasitas tahun ke-30
Kapasitas awal:
\( 80 \) kWh
Kapasitas setelah 30 tahun:
\( 40,96 \) kWh
Langkah 2: Hitung persentase terhadap kapasitas awal
Persentase kapasitas =
\( \dfrac{40,96}{80} \times 100\% \)
\( = 0,512 \times 100\% \)
\( = 51,2\% \)
Kesimpulan
Persentase kapasitas baterai pada tahun ke-30 dibandingkan kapasitas awal adalah 51,2%.
No 14
Perusahaan mobil listrik E-Motion meluncurkan model E-Motion One yang menggunakan baterai berkapasitas awal 80 kWh. Berdasarkan data pemakaian jangka panjang, teknisi menemukan bahwa kapasitas maksimum baterai menurun secara proporsional setiap 10 tahun dan dapat dimodelkan sebagai barisan geometri. Setelah 20 tahun penggunaan, kapasitasnya tercatat 51,2 kWh, dan setelah 30 tahun kapasitasnya turun menjadi 40,96 kWh. Baterai dianggap tidak layak digunakan jika kapasitasnya berada di bawah 40 kWh.
Selain itu, harga mobil E-Motion One juga menurun seiring waktu. Harga awal sebesar 600 juta rupiah menurun menjadi 480 juta rupiah setelah 10 tahun, dan 384 juta rupiah setelah 20 tahun.
Tersedia pula model baru bernama E-Motion Turbo dengan kapasitas awal 125% lebih besar daripada versi One dan harga awal tiga kali lipat lebih mahal dari versi One. Dengan pola penurunan kapasitas dan harga yang sama, pada tahun berapa mobil Turbo tidak layak dipakai dan berapa perkiraan harganya saat itu?
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Tentukan rasio penurunan
Diketahui:
\( \dfrac{51,2}{80} = 0,64 \)
Karena itu adalah 20 tahun (dua periode 10 tahun):
\( r^2 = 0,64 \)
\( r = 0,8 \)
Maka model kapasitas:
\( B(t) = B_0(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
Model harga:
\( H(t) = H_0(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
Langkah 2: Tentukan kapasitas awal Turbo
125% lebih besar berarti:
\( B_{Turbo}(0) = 80 + 1,25(80) \)
\( B_{Turbo}(0) = 80 + 100 \)
\( B_{Turbo}(0) = 180 \)
Model kapasitas Turbo:
\( B_{Turbo}(t) = 180(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
Langkah 3: Cari saat tidak layak (di bawah 40 kWh)
\( 180(0,8)^{\frac{t}{10}} \lt 40 \)
\( (0,8)^{\frac{t}{10}} \lt \dfrac{40}{180} \)
\( (0,8)^{\frac{t}{10}} \lt 0,2222 \)
Diketahui:
\( (0,8)^6 = 0,262144 \)
\( (0,8)^7 = 0,2097152 \)
Karena \( 0,2097 \lt 0,2222 \), maka:
\( \dfrac{t}{10} = 7 \)
\( t = 70 \)
Mobil Turbo tidak layak pada tahun ke-70.
Langkah 4: Hitung harga saat itu
Harga awal Turbo:
\( H_{Turbo}(0) = 3 \times 600 \)
\( H_{Turbo}(0) = 1.800 \)
Model harga Turbo:
\( H_{Turbo}(t) = 1.800(0,8)^{\frac{t}{10}} \)
Untuk \( t = 70 \):
\( H_{Turbo}(70) = 1.800(0,8)^7 \)
\( = 1.800(0,2097152) \)
\( \approx 377,49 \)
Kesimpulan
Mobil Turbo tidak layak dipakai pada tahun ke-70 dengan perkiraan harga sekitar 377,49 juta rupiah.
No 15
Bu guru menyediakan 22 bacaan berbeda yang terdiri atas 12 bacaan tentang pahlawan dan 10 bacaan tentang kesehatan. Bu guru akan memberikan masing-masing satu bacaan kepada tiga siswa, yaitu Aisah, Banu, dan Candra. Bacaan dipilih secara acak dan tidak ada bacaan yang sama.
Jika Aisah harus menerima bacaan tentang kesehatan, sedangkan Banu dan Candra masing-masing menerima bacaan tentang pahlawan, banyak cara pemilihan bacaan tersebut adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Memahami Konsep
Karena setiap siswa menerima satu bacaan berbeda, maka ini adalah persoalan kaidah perkalian (aturan dasar menghitung).
Tersedia:
- 10 bacaan kesehatan
- 12 bacaan pahlawan
Aisah harus mendapat bacaan kesehatan.
Banu dan Candra harus mendapat bacaan pahlawan.
Langkah 2: Pilih bacaan untuk Aisah
Aisah dapat memilih 1 dari 10 bacaan kesehatan.
Banyak cara:
\( 10 \)
Langkah 3: Pilih bacaan untuk Banu
Banu memilih 1 dari 12 bacaan pahlawan.
Banyak cara:
\( 12 \)
Langkah 4: Pilih bacaan untuk Candra
Setelah Banu memilih 1 bacaan pahlawan, sisa bacaan pahlawan adalah:
\( 12 - 1 = 11 \)
Banyak cara untuk Candra:
\( 11 \)
Langkah 5: Gunakan Aturan Perkalian
Total cara:
\( 10 \times 12 \times 11 \)
\( = 1320 \)
Kesimpulan
Banyak cara pemilihan bacaan tersebut adalah 1320 cara.
No 16
Bu guru menyediakan 22 bacaan berbeda yang terdiri atas 12 bacaan tentang pahlawan dan 10 bacaan tentang kesehatan. Bu guru akan memberikan masing-masing satu bacaan kepada tiga siswa, yaitu Aisah, Banu, dan Candra. Bacaan dipilih secara acak dan tidak ada bacaan yang sama.
Peluang Aisah mendapatkan bacaan tentang pahlawan serta Banu dan Candra mendapatkan bacaan tentang kesehatan adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Tentukan banyak seluruh kemungkinan
Total bacaan ada 22.
Karena dibagikan kepada 3 siswa berbeda tanpa pengulangan, maka banyak seluruh cara adalah:
\( 22 \times 21 \times 20 \)
\( = 9240 \)
Langkah 2: Tentukan banyak kejadian yang diinginkan
Aisah harus mendapat bacaan pahlawan:
\( 12 \) cara
Banu harus mendapat bacaan kesehatan:
\( 10 \) cara
Setelah Banu mengambil 1 bacaan kesehatan, sisa bacaan kesehatan:
\( 10 - 1 = 9 \)
Candra mendapat bacaan kesehatan:
\( 9 \) cara
Maka banyak kejadian yang memenuhi:
\( 12 \times 10 \times 9 \)
\( = 1080 \)
Langkah 3: Hitung peluang
\( P = \dfrac{1080}{9240} \)
Sederhanakan:
\( \dfrac{1080}{9240} = \dfrac{108}{924} \)
\( = \dfrac{9}{77} \)
Kesimpulan
Peluang yang dimaksud adalah:
\( \dfrac{9}{77} \)
No 17
Bu guru menyediakan 22 bacaan berbeda yang terdiri atas 12 bacaan tentang pahlawan dan 10 bacaan tentang kesehatan. Bu guru akan memberikan masing-masing satu bacaan kepada tiga siswa, yaitu Aisah, Banu, dan Candra. Bacaan dipilih secara acak dan tidak ada bacaan yang sama.
Peluang ketiganya mendapatkan bacaan tentang pahlawan atau Banu mendapatkan bacaan tentang pahlawan serta Aisah dan Candra mendapatkan bacaan tentang kesehatan adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Ruang sampel
Total cara pembagian bacaan kepada tiga siswa berbeda:
\( 22 \times 21 \times 20 \)
\( = 9240 \)
Langkah 2: Misalkan
A = ketiganya mendapat bacaan pahlawan
B = Banu mendapat pahlawan, Aisah dan Candra mendapat kesehatan
Kita cari ( P(A \cup B) ).Langkah 3: Hitung peluang A
Aisah: \( 12 \) pilihan
Banu: \( 11 \) pilihan
Candra: \( 10 \) pilihan
Banyak kejadian A:
\( 12 \times 11 \times 10 = 1320 \)
Langkah 4: Hitung peluang B
Banu pahlawan: \( 12 \)
Aisah kesehatan: \( 10 \)
Candra kesehatan (sisa): \( 9 \)
Banyak kejadian B:
\( 12 \times 10 \times 9 = 1080 \)
Langkah 5: Periksa irisan
Kejadian A dan B tidak mungkin terjadi bersamaan karena pada A semua pahlawan, sedangkan pada B dua kesehatan.
Maka:
\( P(A \cup B) = \dfrac{1320 + 1080}{9240} \)
\( = \dfrac{2400}{9240} \)
Sederhanakan:
\( = \dfrac{20}{77} \)
Kesimpulan
Peluang yang dimaksud adalah:
\( \dfrac{20}{77} \)
No 18
Bu guru menyediakan 22 bacaan berbeda yang terdiri atas 12 bacaan tentang pahlawan dan 10 bacaan tentang kesehatan. Bu guru akan memberikan masing-masing satu bacaan kepada tiga siswa, yaitu Aisah, Banu, dan Candra. Bacaan dipilih secara acak dan tidak ada bacaan yang sama.
Peluang Banu mendapatkan bacaan tentang kesehatan serta Aisah dan Candra tidak sama-sama mendapatkan bacaan tentang pahlawan dan tidak sama-sama mendapatkan bacaan tentang kesehatan adalah...
Jawaban dan Pembahasan (klik)
Langkah 1: Ruang sampel
Total cara pembagian bacaan kepada tiga siswa berbeda adalah:
\( 22 \times 21 \times 20 \)
\( = 9240 \)
Langkah 2: Tentukan kejadian yang diinginkan
Banu harus mendapat bacaan kesehatan:
\( 10 \) cara
Sisa bacaan sekarang:
Total tersisa \( 21 \) bacaan, terdiri dari:
\( 12 \) pahlawan dan \( 9 \) kesehatan
Aisah dan Candra tidak boleh sama-sama pahlawan dan tidak boleh sama-sama kesehatan.
Artinya, satu harus pahlawan dan satu harus kesehatan.
Langkah 3: Hitung kemungkinan untuk Aisah dan Candra
Kemungkinan 1:
Aisah pahlawan dan Candra kesehatan
\( 12 \times 9 \)
Kemungkinan 2:
Aisah kesehatan dan Candra pahlawan
\( 9 \times 12 \)
Total kemungkinan:
\( (12 \times 9) + (9 \times 12) \)
\( = 108 + 108 \)
\( = 216 \)
Langkah 4: Total kejadian yang memenuhi
\( 10 \times 216 \)
\( = 2160 \)
Langkah 5: Hitung peluang
\( P = \dfrac{2160}{9240} \)
Sederhanakan:
\( = \dfrac{18}{77} \)
Kesimpulan
Peluang yang dimaksud adalah:
\( \dfrac{18}{77} \)