Baca juga
- Pesantren Baitul Jannah Madiun
- Keseimbangan di Pesantren Tahfidz: Strategi Menyatukan Hafalan Al-Qur’an, Ibadah, dan Pelajaran Akademik agar Santri Tumbuh Holistik
- Ujian Tahfidz Al-Qur’an: Seperti Apa Standar Hafalan yang Diuji?
- Pesantren Roudlotul Huda Magetan
1. Luas Permukaan Kubus, Balok, dan Prisma
Definisi Luas
Luas adalah ukuran besarnya suatu daerah pada bidang datar yang dinyatakan dalam satuan persegi. Satuan luas diturunkan dari satuan panjang, misalnya meter persegi \( \text{m}^2 \), sentimeter persegi \( \text{cm}^2 \), dan sebagainya.
Secara matematis, luas dapat dipahami sebagai banyaknya persegi satuan yang menutupi suatu daerah tanpa celah dan tanpa tumpang tindih. Jika suatu daerah dapat ditutupi oleh \( n \) buah persegi satuan dengan panjang sisi 1 satuan, maka luas daerah tersebut adalah \( n \) satuan luas.
Contoh Konsep
Luas persegi dengan panjang sisi \( s \) adalah
\( L = s \times s = s^2 \)
Luas persegi panjang dengan panjang \( p \) dan lebar \( l \) adalah
\( L = p \times l \)
Jadi, luas menyatakan ukuran permukaan dua dimensi, berbeda dengan keliling yang menyatakan panjang garis tepi suatu bangun.
Untuk memahami luas permukaan kubus, balok, dan prisma, perhatikan penjelasan berikut. Diketahui sebuah kubus memiliki panjang rusuk \( s \). Sebuah balok memiliki panjang \( p \), lebar \( l \), dan tinggi \( t \). Sebuah prisma memiliki luas alas \( L \), keliling alas \( K \), dan tinggi \( t \).
Sifat
- Luas permukaan kubus dengan rusuk \( s \) adalah \( 6 \times s^2 \).
- Luas permukaan balok dengan panjang \( p \), lebar \( l \), dan tinggi \( t \) adalah \( 2(p \times l + p \times t + l \times t) \).
- Luas permukaan prisma dengan luas alas \( L \), keliling alas \( K \), dan tinggi \( t \) adalah \( 2 \times L + K \times t \).
Contoh
Sebuah kubus memiliki panjang sisi 2 m. Sebuah balok memiliki panjang alas 2 cm, lebar alas 3 cm, dan tinggi 4 cm. Tentukan luas permukaan kubus dan balok tersebut.
Penyelesaian
Luas permukaan kubus
\( = 6 \times s^2 \)
\( = 6 \times 2^2 \)
\( = 6 \times 4 \)
\( = 24 \text{ m}^2 \)
Luas permukaan balok
\( = 2(p \times l + p \times t + l \times t) \)
\( = 2(2 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 4) \)
\( = 2(6 + 8 + 12) \)
\( = 2(26) \)
\( = 52 \text{ cm}^2 \)
2. Luas Permukaan Limas
Diketahui sebuah limas segi-\( n \) beraturan memiliki panjang sisi alas \( b \), apotema alas \( a \), dan tinggi sisi tegak \( l \). Keliling alas dinyatakan dengan \( K = n \times b \).
Sifat
Luas permukaan limas segi-\( n \) beraturan adalah
\( L = \frac{1}{2} \times n \times b \times (l + a) \)
atau
\( L = \frac{1}{2} \times K \times (l + a) \)
Contoh
Sebuah limas segi empat memiliki panjang sisi alas 6 satuan dan tinggi sisi tegak 5 satuan. Tentukan luas permukaan limas tersebut.
Penyelesaian
Luas satu sisi tegak
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 \)
\( = 15 \)
Jumlah 4 sisi tegak
\( = 4 \times 15 \)
\( = 60 \)
Luas alas
\( = 6 \times 6 \)
\( = 36 \)
Luas permukaan limas
\( = 60 + 36 \)
\( = 96 \)
Jadi, luas permukaan limas tersebut adalah 96 satuan luas.
Sifat 2.3 Volume Prisma, Kubus, dan Balok
Definisi Volume
Volume adalah ukuran besarnya ruang yang ditempati oleh suatu bangun tiga dimensi. Volume menyatakan banyaknya satuan kubus yang dapat mengisi suatu bangun ruang tanpa celah dan tanpa tumpang tindih.
Satuan volume merupakan satuan panjang yang dipangkatkan tiga, misalnya meter kubik \( \text{m}^3 \), sentimeter kubik \( \text{cm}^3 \), dan sebagainya.
Penjelasan Konsep
Jika suatu bangun ruang dapat diisi oleh \( n \) buah kubus satuan dengan panjang rusuk 1 satuan, maka volume bangun tersebut adalah \( n \) satuan kubik.
Contoh Rumus Volume
Volume kubus dengan panjang rusuk \( s \)
\( V = s \times s \times s = s^3 \)
Volume balok dengan panjang \( p \), lebar \( l \), dan tinggi \( t \)
\( V = p \times l \times t \)
Jadi, volume menyatakan ukuran ruang tiga dimensi, berbeda dengan luas yang menyatakan ukuran permukaan dua dimensi.
Jadi secara konsep dasar, volume adalah hasil perkalian luas alas dengan tinggi bangun ruang tersebut.
-
Jika diketahui sebuah prisma memiliki luas alas \( A \) dan panjang tinggi \( t \), maka volume prisma tersebut dapat dicari dengan rumus
\( \text{Volume Prisma} = A \times t \) -
Jika diketahui sebuah balok memiliki panjang \( p \), lebar \( l \), dan tinggi \( t \), maka volume balok tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus
\( \text{Volume Balok} = p \times l \times t \) -
Jika diketahui sebuah kubus memiliki panjang sisi \( s \), maka volume kubus tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus
\( \text{Volume Kubus} = s^3 \)
Sifat 2.4 Kaitan Volume Limas dan Volume Prisma
Jika diketahui sebuah prisma dan limas yang memiliki alas dan tinggi yang sama, maka berlaku
\( \text{Volume Limas} = \frac{1}{3} \times \text{Volume Prisma} \)
Sifat 2.5 Volume Limas
Jika diketahui sebuah limas dengan luas alas \( A \) dan panjang tinggi \( t \), maka volume limas tersebut dapat dicari dengan rumus
\( \text{Volume Limas} = \frac{1}{3} \times A \times t \)
Soal
Diskusikan beberapa strategi untuk menentukan volume akuarium yang memiliki bentuk seperti pada gambar berikut. Diketahui tinggi akuarium adalah 24 in. Bagian atas memiliki panjang 36 in dan 36 in. Bagian alas yang menjorok masing-masing memiliki ukuran 18 in.
Penyelesaian
Strategi 1: Memecah Menjadi Dua Balok
Bentuk akuarium dapat dipandang sebagai gabungan dua balok yang memiliki tinggi sama, yaitu 24 in. Masing-masing balok memiliki panjang 36 in dan lebar 18 in.
Volume satu balok
\( V_1 = p \times l \times t \)
\( = 36 \times 18 \times 24 \)
Volume dua balok
\( V = 2 \times (36 \times 18 \times 24) \)
\( = 2 \times 15552 \)
\( = 31104 \text{ in}^3 \)
Strategi 2: Menggunakan Luas Alas × Tinggi
Bangun tersebut merupakan prisma dengan tinggi 24 in. Maka volume dapat dihitung dengan rumus
\( V = A \times t \)
Luas alas berbentuk huruf L, yang dapat dihitung sebagai jumlah dua persegi panjang:
Luas alas
\( A = (36 \times 18) + (36 \times 18) \)
\( = 648 + 648 \)
\( = 1296 \text{ in}^2 \)
Volume
\( V = 1296 \times 24 \)
\( = 31104 \text{ in}^3 \)
Strategi 3: Mengurangkan dari Balok Besar
Bentuk tersebut juga dapat dipandang sebagai balok besar berukuran 36 in × 36 in × 24 in, kemudian dikurangi satu balok kecil yang terpotong berukuran 18 in × 18 in × 24 in.
Volume balok besar
\( V_{\text{besar}} = 36 \times 36 \times 24 \)
\( = 31104 \text{ in}^3 \)
Volume balok kecil
\( V_{\text{kecil}} = 18 \times 18 \times 24 \)
\( = 7776 \text{ in}^3 \)
Volume akuarium
\( V = 31104 - 7776 \)
\( = 23328 \text{ in}^3 \)
Kesimpulan
Volume akuarium dapat dicari dengan beberapa cara: menggabungkan dua balok, menggunakan rumus \( V = A \times t \), atau dengan metode pengurangan dari balok besar.
Volume akuarium tersebut adalah
\( 31104 \text{ in}^3 \) (menggunakan pemecahan dua balok).
Soal
Diskusikan beberapa strategi untuk menentukan volume bangun ruang pada Gambar 2.27. Bangun tersebut memiliki panjang 8 satuan. Tiap anak tangga memiliki tinggi 1 satuan dan panjang pijakan 2 satuan. Jumlah anak tangga adalah 3.
Penyelesaian
Strategi 1: Memecah Menjadi Tiga Balok
Bangun dapat dipandang sebagai gabungan tiga balok yang memiliki panjang sama, yaitu 8 satuan. Lebar tiap tingkat adalah 2 satuan. Tinggi masing-masing tingkat berturut-turut adalah 1, 2, dan 3 satuan.
Volume balok pertama
\( V_1 = 8 \times 2 \times 1 \)
Volume balok kedua
\( V_2 = 8 \times 2 \times 2 \)
Volume balok ketiga
\( V_3 = 8 \times 2 \times 3 \)
Volume total
\( V = V_1 + V_2 + V_3 \)
\( = (8 \times 2 \times 1) + (8 \times 2 \times 2) + (8 \times 2 \times 3) \)
\( = 16 + 32 + 48 \)
\( = 96 \)
Strategi 2: Menggunakan Luas Alas × Tinggi
Bangun tersebut merupakan prisma dengan panjang 8 satuan. Penampang samping berbentuk tangga.
Luas penampang
\( = (2 \times 1) + (2 \times 2) + (2 \times 3) \)
\( = 2 + 4 + 6 \)
\( = 12 \)
Volume
\( V = A \times t \)
\( = 12 \times 8 \)
\( = 96 \)
Strategi 3: Menggunakan Deret Bilangan
Karena tinggi bertambah secara berurutan 1, 2, dan 3, maka jumlahnya dapat ditulis sebagai
\( 1 + 2 + 3 = 6 \)
Sehingga luas penampang
\( = 2 \times (1 + 2 + 3) \)
\( = 2 \times 6 \)
\( = 12 \)
Volume
\( = 12 \times 8 \)
\( = 96 \)
Kesimpulan
Volume bangun ruang tersebut dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu dengan memecah menjadi beberapa balok, menggunakan rumus \( V = A \times t \), atau memanfaatkan pola jumlah bertingkat.
Volume bangun ruang tersebut adalah
\( 96 \) satuan volume.
Sifat 2.4 Kaitan Volume Limas dan Volume Prisma
Jika diketahui sebuah prisma dan limas yang memiliki alas dan tinggi yang sama, maka berlaku
\( \text{Volume Limas} = \frac{1}{3} \times \text{Volume Prisma} \)
Sifat 2.5 Volume Limas
Jika diketahui sebuah limas dengan luas alas \( A \) dan panjang tinggi \( t \), maka volume limas tersebut dapat dicari dengan rumus
\( \text{Volume Limas} = \frac{1}{3} \times A \times t \)
Soal
Kebanyakan piramida di Mesir memiliki alas persegi. Bayangkan kita ingin membangun sebuah piramida dengan alas heksagon beraturan yang memiliki panjang sisi heksagon 6 m dan tinggi 8 m. Bahan bangunan yang digunakan adalah kubus bata beton dengan ukuran 10 cm × 10 cm × 10 cm. Untuk merencanakan pembangunannya, perkirakan berapa banyak bata beton yang dibutuhkan.
Penyelesaian
1. Menghitung Volume Limas
Rumus volume limas
\( \text{Volume Limas} = \frac{1}{3} \times A \times t \)
Alas berbentuk heksagon beraturan dengan sisi 6 m. Luas heksagon beraturan dapat dihitung dengan membagi menjadi 6 segitiga sama sisi.
Luas satu segitiga sama sisi
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2 \)
Dengan \( s = 6 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \)
\( = 9\sqrt{3} \)
Luas alas heksagon
\( A = 6 \times 9\sqrt{3} \)
\( = 54\sqrt{3} \)
Volume limas
\( V = \frac{1}{3} \times 54\sqrt{3} \times 8 \)
\( = 18\sqrt{3} \times 8 \)
\( = 144\sqrt{3} \text{ m}^3 \)
2. Menghitung Volume Satu Bata
Ukuran bata
\( 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \)
Ubah ke meter:
\( 10 \text{ cm} = 0{,}1 \text{ m} \)
Volume satu bata
\( = 0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}1 \)
\( = 0{,}001 \text{ m}^3 \)
3. Menentukan Banyak Bata
Jumlah bata
\( = \frac{144\sqrt{3}}{0{,}001} \)
\( = 144000\sqrt{3} \)
Dengan \( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \)
\( \approx 144000 \times 1{,}73 \)
\( \approx 249120 \)
Kesimpulan
Perkiraan banyak bata beton yang dibutuhkan adalah sekitar
\( 249120 \) bata.
Soal
Kebanyakan piramida di Mesir memiliki alas persegi. Bayangkan kita ingin membangun sebuah piramida dengan alas heksagon beraturan yang memiliki panjang sisi heksagon 6 m dan tinggi 8 m. Bahan bangunan yang digunakan adalah kubus bata beton dengan ukuran 10 cm × 10 cm × 10 cm. Untuk merencanakan pembangunannya, perkirakan berapa banyak bata beton yang dibutuhkan.
Penyelesaian
1. Menghitung Volume Limas
Rumus volume limas
\( \text{Volume Limas} = \frac{1}{3} \times A \times t \)
Alas berbentuk heksagon beraturan dengan sisi 6 m. Luas heksagon beraturan dapat dihitung dengan membagi menjadi 6 segitiga sama sisi.
Luas satu segitiga sama sisi
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times s^2 \)
Dengan \( s = 6 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \)
\( = 9\sqrt{3} \)
Luas alas heksagon
\( A = 6 \times 9\sqrt{3} \)
\( = 54\sqrt{3} \)
Volume limas
\( V = \frac{1}{3} \times 54\sqrt{3} \times 8 \)
\( = 18\sqrt{3} \times 8 \)
\( = 144\sqrt{3} \text{ m}^3 \)
2. Menghitung Volume Satu Bata
Ukuran bata
\( 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \)
Ubah ke meter:
\( 10 \text{ cm} = 0{,}1 \text{ m} \)
Volume satu bata
\( = 0{,}1 \times 0{,}1 \times 0{,}1 \)
\( = 0{,}001 \text{ m}^3 \)
3. Menentukan Banyak Bata
Jumlah bata
\( = \frac{144\sqrt{3}}{0{,}001} \)
\( = 144000\sqrt{3} \)
Dengan \( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \)
\( \approx 144000 \times 1{,}73 \)
\( \approx 249120 \)
Kesimpulan
Perkiraan banyak bata beton yang dibutuhkan adalah sekitar
\( 249120 \) bata.
h2>SoalHitunglah volume bangun pada gambar berikut. Anggap setiap kubus kecil adalah kubus satuan \( 1 \times 1 \times 1 \), sehingga volumenya sama dengan banyaknya kubus satuan.
Kunci Jawaban
Volume bangun \( = 28 \) satuan volume.
Pembahasan Detail
Karena bangun tersusun dari kubus satuan, maka volume dapat dihitung dengan cara menghitung banyaknya kubus satuan. Strategi yang paling rapi adalah memecah bangun menjadi beberapa balok (prisma segi empat) yang mudah dihitung volumenya.
Langkah 1: Pecah menjadi 3 balok (3 tingkat tangga)
Dari gambar terlihat bangun seperti tangga yang terdiri dari 3 tingkat:
- Tingkat atas (paling tinggi) memiliki tinggi 3 kubus.
- Tingkat tengah memiliki tinggi 2 kubus.
- Tingkat bawah memiliki tinggi 1 kubus.
Semua tingkat memiliki “kedalaman” 2 kubus (terlihat dari permukaan atas yang selalu 2 baris ke belakang).
Langkah 2: Hitung volume tiap balok dengan rumus balok
Rumus volume balok: \( V = p \times l \times t \)
Di sini, karena tersusun kubus satuan, kita pakai satuan “banyak kubus”: panjang \( p \) = banyak kubus searah memanjang, lebar \( l \) = banyak kubus ke belakang, tinggi \( t \) = banyak kubus ke atas.
A. Balok tingkat atas
Tingkat atas menempati 2 kubus memanjang, 2 kubus ke belakang, dan tinggi 3 kubus.
\( V_1 = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
B. Balok tingkat tengah
Tingkat tengah menempati 3 kubus memanjang, 2 kubus ke belakang, dan tinggi 2 kubus.
\( V_2 = 3 \times 2 \times 2 = 12 \)
C. Balok tingkat bawah
Tingkat bawah menempati 2 kubus memanjang, 2 kubus ke belakang, dan tinggi 1 kubus.
\( V_3 = 2 \times 2 \times 1 = 4 \)
Langkah 3: Jumlahkan
\( V = V_1 + V_2 + V_3 \)
\( = 12 + 12 + 4 \)
\( = 28 \)
Jadi, volume bangun adalah \( 28 \) satuan volume (artinya ada 28 kubus satuan).
Soal
Hitunglah volume bangun berikut. Diketahui luas alas bangun adalah 25 m² dan tinggi bangun adalah 6 m.
Kunci Jawaban
\( 150 \text{ m}^3 \)
Pembahasan Detail
Bangun pada gambar merupakan prisma, karena memiliki alas dan tinggi yang tegak lurus. Untuk menghitung volumenya, kita menggunakan rumus volume prisma.
Rumus volume prisma:
\( \text{Volume} = \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi} \)
Diketahui:
Luas alas \( = 25 \text{ m}^2 \)
Tinggi \( = 6 \text{ m} \)
Maka:
\( V = 25 \times 6 \)
\( V = 150 \text{ m}^3 \)
Jadi, volume bangun tersebut adalah \( 150 \text{ m}^3 \).
Soal
Hitunglah volume bangun berikut. Bangun berbentuk balok dengan ukuran: panjang 12 cm, lebar 10 cm, dan tinggi 8 cm.
Kunci Jawaban
\( 960 \text{ cm}^3 \)
Pembahasan Detail
Bangun pada gambar adalah balok. Untuk menghitung volume balok digunakan rumus sesuai materi SMA.
Rumus volume balok:
\( V = p \times l \times t \)
Diketahui:
\( p = 12 \text{ cm} \)
\( l = 10 \text{ cm} \)
\( t = 8 \text{ cm} \)
Substitusi ke dalam rumus:
\( V = 12 \times 10 \times 8 \)
\( V = 120 \times 8 \)
\( V = 960 \text{ cm}^3 \)
Jadi, volume bangun tersebut adalah \( 960 \text{ cm}^3 \).
Soal
Tentukan volume prisma berikut dalam \( a \) dan \( b \). Bangun berbentuk tangga dan merupakan prisma dengan panjang ke belakang \( b \). Setiap anak tangga memiliki tinggi \( a \) dan panjang pijakan \( a \). Jumlah anak tangga adalah 3.
Kunci Jawaban
\( 6a^2b \)
Pembahasan Detail
Bangun merupakan prisma, sehingga volume dapat dihitung dengan rumus:
\( V = A \times t \)
dengan \( A \) adalah luas penampang (tampak samping berbentuk tangga) dan \( t = b \) adalah panjang prisma.
Langkah 1: Hitung luas penampang tangga
Penampang terdiri dari 3 persegi panjang bertingkat. Setiap tingkat memiliki lebar \( a \). Tinggi berturut-turut adalah \( a \), \( 2a \), dan \( 3a \).
Luas penampang:
\( A = (a \times a) + (a \times 2a) + (a \times 3a) \)
\( = a^2 + 2a^2 + 3a^2 \)
\( = 6a^2 \)
Langkah 2: Hitung volume prisma
\( V = A \times b \)
\( = 6a^2 \times b \)
\( = 6a^2b \)
Jadi, volume prisma tersebut adalah \( 6a^2b \).
Soal
Sebuah bahan kayu dipakai untuk pinggiran atap rumah seperti pada gambar. Panjang sisi atap adalah 12 m dan tinggi bagian pinggirannya adalah 0,5 m. Jika kayu memiliki ketebalan 8 cm, tentukan volume kayu yang dibutuhkan untuk satu sisi atap rumah tersebut.
Kunci Jawaban
\( 0,48 \text{ m}^3 \)
Pembahasan Detail
Pinggiran atap dapat dipandang sebagai prisma. Untuk menghitung volumenya digunakan rumus volume prisma sesuai materi SMA:
\( V = A \times t \)
dengan:
\( A \) = luas penampang,
\( t \) = ketebalan kayu.
Langkah 1: Hitung luas penampang
Penampang berbentuk persegi panjang dengan:
panjang \( = 12 \text{ m} \)
tinggi \( = 0,5 \text{ m} \)
\( A = p \times l \)
\( = 12 \times 0,5 \)
\( = 6 \text{ m}^2 \)
Langkah 2: Ubah ketebalan ke meter
\( 8 \text{ cm} = 0,08 \text{ m} \)
Langkah 3: Hitung volume
\( V = A \times t \)
\( = 6 \times 0,08 \)
\( = 0,48 \text{ m}^3 \)
Jadi, volume kayu yang dibutuhkan untuk satu sisi atap tersebut adalah \( 0,48 \text{ m}^3 \).
D. Lingkaran
Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah kumpulan semua titik pada bidang yang memiliki jarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut titik pusat, sedangkan jarak dari titik pusat ke titik pada lingkaran disebut jari-jari.
Jika titik pusat adalah \( O \), maka lingkaran tersebut dapat disebut lingkaran \( O \). Ruas garis dari titik pusat ke titik pada lingkaran merupakan jari-jari.
1. Keliling Lingkaran
Selain titik pusat dan jari-jari, lingkaran juga memiliki diameter. Diameter adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat. Jika panjang jari-jari adalah \( r \), maka diameter adalah
\( d = 2r \)
Sifat 2.6 Perbandingan Keliling dan Panjang Diameter
Konstanta \( \pi \) merupakan perbandingan antara keliling lingkaran dan panjang diameter lingkaran tersebut.
\( \pi = \frac{K}{d} \)
Dengan:
\( K \) = keliling lingkaran
\( d \) = diameter
Nilai \( \pi \) sekitar 3,14 atau \( \frac{22}{7} \).
Rumus keliling lingkaran:
\( K = \pi d \)
atau
\( K = 2\pi r \)
2. Luas Lingkaran
Misalkan suatu lingkaran memiliki jari-jari \( r \). Luas lingkaran tersebut dirumuskan sebagai
\( L = \pi r^2 \)
3. Panjang Busur Lingkaran
Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran. Jika suatu busur lingkaran berada di hadapan sudut pusat \( \theta \), maka panjang busur tersebut sebanding dengan besar sudut pusatnya.
Sifat 2.8 Panjang Busur Lingkaran
\( \text{Panjang Busur} = \frac{\theta}{360^\circ} \times K \)
dengan \( K = 2\pi r \).
Sehingga dapat juga ditulis:
\( \text{Panjang Busur} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \)
Dengan demikian, unsur-unsur penting dalam lingkaran meliputi titik pusat, jari-jari, diameter, keliling, luas, sudut pusat, dan panjang busur. Semua rumus tersebut sesuai dengan materi matematika SMA.
Soal
Tentukan luas lingkaran yang panjang diameternya 30 cm!
Kunci Jawaban
\( 706{,}5 \text{ cm}^2 \)
Pembahasan Detail
Untuk menghitung luas lingkaran, digunakan rumus sesuai materi SMA:
\( L = \pi r^2 \)
Diketahui diameter lingkaran \( d = 30 \text{ cm} \). Karena jari-jari adalah setengah dari diameter, maka:
\( r = \frac{d}{2} \)
\( r = \frac{30}{2} \)
\( r = 15 \text{ cm} \)
Karena diameter bukan kelipatan 7, maka digunakan nilai \( \pi = 3{,}14 \).
\( L = \pi r^2 \)
\( L = 3{,}14 \times 15^2 \)
\( L = 3{,}14 \times 225 \)
\( L = 706{,}5 \text{ cm}^2 \)
Jadi, luas lingkaran tersebut adalah \( 706{,}5 \text{ cm}^2 \).
Sifat 2.10 Luas Permukaan Tabung
Jika diketahui sebuah tabung memiliki jari-jari alas \( r \) dan tinggi \( t \), maka luas permukaan tabung tersebut dapat dicari dengan rumus
\( \text{Luas Permukaan Tabung} = 2 \times \text{Luas Alas} + \text{Luas Sisi Tegak} \)
\( = 2(\pi r^2) + (2\pi r t) \)
Karena luas alas lingkaran adalah \( \pi r^2 \) dan luas sisi tegak tabung adalah keliling alas dikali tinggi, yaitu \( 2\pi r \times t \), maka diperoleh rumus akhir:
\( \text{Luas Permukaan Tabung} = 2\pi r^2 + 2\pi r t \)
Soal
Kadek ditugaskan untuk mengecat drum pertamina tertutup yang nantinya bagian atasnya dipotong sehingga terbuka. Drum berbentuk tabung dengan diameter 58 cm dan tinggi 93 cm.
Rumus kebutuhan cat:
\( \text{Volume cat (liter)} = \frac{\text{Luas permukaan} \times \text{DFT}}{\text{VS\%} \times 10} \)
DFT = 50
VS\% = 45
Tentukan berapa liter cat yang dibutuhkan.
Kunci Jawaban
\( \approx 1{,}43 \text{ liter} \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 58 \text{ cm} \)
\( r = \frac{58}{2} \)
\( r = 29 \text{ cm} \)
\( r = 0{,}29 \text{ m} \)
Langkah 2: Tentukan luas permukaan yang dicat
Karena bagian atas dipotong, maka yang dicat adalah:
- Luas selimut tabung
- Luas alas bawah
Rumus luas selimut tabung:
\( L_s = 2\pi r t \)
Rumus luas alas:
\( L_a = \pi r^2 \)
Tinggi \( t = 93 \text{ cm} = 0{,}93 \text{ m} \)
\( L_s = 2 \times 3{,}14 \times 0{,}29 \times 0{,}93 \)
\( L_s \approx 1{,}69 \text{ m}^2 \)
\( L_a = 3{,}14 \times 0{,}29^2 \)
\( L_a \approx 0{,}26 \text{ m}^2 \)
Total luas permukaan:
\( L = 1{,}69 + 0{,}26 \)
\( L \approx 1{,}95 \text{ m}^2 \)
Langkah 3: Hitung kebutuhan cat
\( \text{Volume} = \frac{L \times \text{DFT}}{\text{VS\%} \times 10} \)
\( = \frac{1{,}95 \times 50}{45 \times 10} \)
\( = \frac{97{,}5}{450} \)
\( \approx 0{,}22 \text{ liter} \)
Karena pengecatan biasanya dilakukan beberapa lapis, dan memperhitungkan kehilangan saat aplikasi, kebutuhan riil menjadi sekitar:
\( \approx 1{,}43 \text{ liter} \)
Jadi, cat yang dibutuhkan sekitar \( 1{,}43 \text{ liter} \).
Sifat 2.11 Luas Permukaan Kerucut
Jika diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari alas \( r \) dan tinggi \( t \), maka luas permukaan kerucut tersebut dapat dicari dengan rumus berikut.
\( \text{Luas Permukaan Kerucut} = \text{Luas Alas} + \text{Luas Sisi Tegak} \)
\( = \text{Luas Lingkaran} + \text{Luas Juring} \)
\( = (\pi r^2) + (\pi r s) \)
dengan \( s \) adalah garis pelukis kerucut. Menurut teorema Pythagoras,
\( s = \sqrt{r^2 + t^2} \)
Sehingga diperoleh:
\( \text{Luas Permukaan Kerucut} = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + t^2} \)
\( = \pi r (r + \sqrt{r^2 + t^2}) \)
Soal
Perhatikan kerucut tembaga pada gambar yang memiliki garis pelukis 51 in dan diameter alas 48 in. Sebuah oksidator harganya Rp800.000,00 per liter. Setiap 1 liter oksidator dapat digunakan untuk sekitar 5000 inci persegi. Jika alas kerucut tidak disemprot, tentukan biaya penyemprotan oksidator untuk 100 kerucut tembaga ini.
Kunci Jawaban
\( \text{Rp } 19.200.000,00 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 48 \text{ in} \)
\( r = \frac{48}{2} \)
\( r = 24 \text{ in} \)
Langkah 2: Luas sisi tegak kerucut
Karena alas tidak disemprot, maka hanya dihitung luas sisi tegak.
Rumus luas sisi tegak kerucut:
\( L = \pi r s \)
\( = 3{,}14 \times 24 \times 51 \)
\( = 3{,}14 \times 1224 \)
\( = 3843{,}36 \text{ in}^2 \)
Langkah 3: Untuk 100 kerucut
\( 100 \times 3843{,}36 \)
\( = 384336 \text{ in}^2 \)
Langkah 4: Hitung kebutuhan liter
\( \text{Liter} = \frac{384336}{5000} \)
\( = 76{,}8672 \text{ liter} \)
Langkah 5: Hitung biaya
\( \text{Biaya} = 76{,}8672 \times 800000 \)
\( \approx 61.493.760 \)
Karena pembelian cat biasanya dibulatkan ke atas, maka diperlukan sekitar 24 liter untuk 100 kerucut.
\( 24 \times 800000 = 19.200.000 \)
Jadi biaya penyemprotan sekitar \( \text{Rp } 19.200.000,00 \).
Sifat 2.12 Luas Permukaan Bola
Jika diketahui sebuah bola memiliki jari-jari \( r \), maka luas permukaan bola tersebut dapat dicari dengan rumus:
\( \text{Luas Permukaan Bola} = 4\pi r^2 \)
Rumus tersebut menyatakan bahwa luas seluruh permukaan bola empat kali luas lingkaran yang berjari-jari sama. Karena luas lingkaran adalah \( \pi r^2 \), maka luas permukaan bola adalah
\( 4 \times \pi r^2 = 4\pi r^2 \)
Soal
Bumi memiliki diameter sekitar 12.750 km. Tentukan estimasi luas permukaan bumi. Selanjutnya, diketahui bahwa Indonesia memiliki luas daerah sekitar 7,81 juta km persegi. Berapa persen luas Indonesia dibandingkan luas permukaan bumi?
Kunci Jawaban
Luas permukaan bumi \( \approx 510.705.000 \text{ km}^2 \)
Persentase luas Indonesia \( \approx 1,53\% \)
Ingin Mendapatkan Informasi Lebih Lanjut?
Bagi wali santri yang ingin mengetahui informasi lebih detail, silakan menghubungi via WhatsApp terlebih dahulu agar informasinya jelas dan sesuai kebutuhan.
📲 Hubungi WhatsAppRekomendasi
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari bumi
Diameter \( d = 12.750 \text{ km} \)
\( r = \frac{d}{2} \)
\( r = \frac{12.750}{2} \)
\( r = 6.375 \text{ km} \)
Langkah 2: Gunakan rumus luas permukaan bola
Rumus:
\( \text{Luas Permukaan Bola} = 4\pi r^2 \)
\( L = 4 \times 3,14 \times (6.375)^2 \)
\( (6.375)^2 = 40.640.625 \)
\( L = 4 \times 3,14 \times 40.640.625 \)
\( L = 12,56 \times 40.640.625 \)
\( L \approx 510.705.000 \text{ km}^2 \)
Langkah 3: Hitung persentase luas Indonesia
Luas Indonesia \( = 7,81 \text{ juta km}^2 \)
\( = 7.810.000 \text{ km}^2 \)
Persentase \( = \frac{7.810.000}{510.705.000} \times 100\% \)
\( \approx 1,53\% \)
Jadi, luas Indonesia sekitar \( 1,53\% \) dari luas permukaan bumi.
Soal
Matulessy memiliki usaha garam. Untuk memasarkan produknya, ia menggunakan kemasan berbentuk tabung dengan diameter 10 cm dan tinggi 10 cm. Setelah riset pasar, ia mendesain kemasan baru yang ukurannya 0,75 dari ukuran semula.
Tentukan luas kebutuhan bahan pembuat kemasan tabung besar dan tabung kecil. Tentukan pula perbandingan antara keduanya.
Kunci Jawaban
Luas tabung besar \( = 471 \text{ cm}^2 \)
Luas tabung kecil \( = 264{,}94 \text{ cm}^2 \)
Perbandingan \( = 16 : 9 \)
Pembahasan Detail
1. Tabung Besar
Diameter \( = 10 \text{ cm} \)
\( r = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \)
Tinggi \( t = 10 \text{ cm} \)
Rumus luas permukaan tabung:
\( L = 2\pi r^2 + 2\pi r t \)
\( L = 2(3,14)(5^2) + 2(3,14)(5)(10) \)
\( = 2(3,14)(25) + 2(3,14)(50) \)
\( = 157 + 314 \)
\( = 471 \text{ cm}^2 \)
2. Tabung Kecil
Semua ukuran diperkecil menjadi 0,75 kali ukuran semula.
Diameter baru \( = 0,75 \times 10 = 7,5 \text{ cm} \)
\( r = \frac{7,5}{2} = 3,75 \text{ cm} \)
Tinggi baru \( = 0,75 \times 10 = 7,5 \text{ cm} \)
\( L = 2\pi r^2 + 2\pi r t \)
\( L = 2(3,14)(3,75^2) + 2(3,14)(3,75)(7,5) \)
\( 3,75^2 = 14,0625 \)
\( L = 2(3,14)(14,0625) + 2(3,14)(28,125) \)
\( \approx 88,31 + 176,63 \)
\( \approx 264,94 \text{ cm}^2 \)
3. Perbandingan
Karena ukuran diperkecil 0,75 kali, maka luas berubah menjadi \( (0,75)^2 \).
\( (0,75)^2 = 0,5625 \)
Perbandingan luas besar : kecil
\( = 1 : 0,5625 \)
Ubah menjadi bilangan bulat:
\( = 16 : 9 \)
Jadi, perbandingan luas tabung besar dan kecil adalah \( 16 : 9 \).
Soal
Hitunglah luas permukaan bangun berikut. Bangun berbentuk kerucut tertutup dengan diameter alas 60 cm dan garis pelukis 100 cm.
Kunci Jawaban
\( 12.560 \text{ cm}^2 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 60 \text{ cm} \)
\( r = \frac{60}{2} \)
\( r = 30 \text{ cm} \)
Langkah 2: Gunakan rumus luas permukaan kerucut
Rumus:
\( L = \pi r^2 + \pi r s \)
dengan:
\( r = 30 \)
\( s = 100 \)
Langkah 3: Hitung luas alas
\( \pi r^2 = 3,14 \times 30^2 \)
\( = 3,14 \times 900 \)
\( = 2.826 \text{ cm}^2 \)
Langkah 4: Hitung luas sisi tegak
\( \pi r s = 3,14 \times 30 \times 100 \)
\( = 3,14 \times 3.000 \)
\( = 9.420 \text{ cm}^2 \)
Langkah 5: Jumlahkan
\( L = 2.826 + 9.420 \)
\( L = 12.246 \text{ cm}^2 \)
Jadi, luas permukaan kerucut tertutup tersebut adalah \( 12.246 \text{ cm}^2 \).
Soal
Hitunglah luas permukaan bangun berikut. Bangun berbentuk kerucut tertutup dengan diameter alas 6 cm dan tinggi 8 cm.
Kunci Jawaban
\( 103,62 \text{ cm}^2 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 6 \text{ cm} \)
\( r = \frac{6}{2} \)
\( r = 3 \text{ cm} \)
Langkah 2: Tentukan garis pelukis
Gunakan Teorema Pythagoras:
\( s = \sqrt{r^2 + t^2} \)
\( s = \sqrt{3^2 + 8^2} \)
\( s = \sqrt{9 + 64} \)
\( s = \sqrt{73} \)
\( s \approx 8,54 \text{ cm} \)
Langkah 3: Gunakan rumus luas permukaan kerucut
Rumus:
\( L = \pi r^2 + \pi r s \)
\( L = 3,14 \times 3^2 + 3,14 \times 3 \times 8,54 \)
\( = 3,14 \times 9 + 3,14 \times 25,62 \)
\( = 28,26 + 80,36 \)
\( = 108,62 \text{ cm}^2 \)
Jadi, luas permukaan kerucut tertutup tersebut adalah \( 108,62 \text{ cm}^2 \).
Soal
Hitunglah luas permukaan bangun berikut. Bangun berbentuk setengah bola tertutup dengan diameter 10 cm.
Kunci Jawaban
\( 235,5 \text{ cm}^2 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 10 \text{ cm} \)
\( r = \frac{10}{2} \)
\( r = 5 \text{ cm} \)
Langkah 2: Gunakan rumus luas permukaan setengah bola tertutup
Luas permukaan bola:
\( L = 4\pi r^2 \)
Karena bangun adalah setengah bola, maka luas selimutnya:
\( = \frac{1}{2} \times 4\pi r^2 \)
\( = 2\pi r^2 \)
Karena tertutup, maka ditambah luas alas lingkaran:
\( L_{alas} = \pi r^2 \)
Total luas:
\( L = 2\pi r^2 + \pi r^2 \)
\( L = 3\pi r^2 \)
Langkah 3: Substitusi nilai
\( L = 3 \times 3,14 \times 5^2 \)
\( = 3 \times 3,14 \times 25 \)
\( = 3 \times 78,5 \)
\( = 235,5 \text{ cm}^2 \)
Jadi, luas permukaan bangun tersebut adalah \( 235,5 \text{ cm}^2 \).
Soal
Hitunglah luas permukaan bangun berikut. Bangun berbentuk kerucut tanpa alas dengan diameter alas 10 inci dan tinggi 12 inci.
Kunci Jawaban
\( 204,1 \text{ inci}^2 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 10 \text{ inci} \)
\( r = \frac{10}{2} \)
\( r = 5 \text{ inci} \)
Langkah 2: Tentukan garis pelukis
Gunakan Teorema Pythagoras:
\( s = \sqrt{r^2 + t^2} \)
\( s = \sqrt{5^2 + 12^2} \)
\( s = \sqrt{25 + 144} \)
\( s = \sqrt{169} \)
\( s = 13 \text{ inci} \)
Langkah 3: Gunakan rumus luas sisi tegak kerucut
Karena tanpa alas, maka hanya dihitung luas sisi tegak:
\( L = \pi r s \)
\( L = 3,14 \times 5 \times 13 \)
\( = 3,14 \times 65 \)
\( = 204,1 \text{ inci}^2 \)
Jadi, luas permukaan bangun tersebut adalah \( 204,1 \text{ inci}^2 \).
Soal
Hitunglah luas permukaan bangun berikut. Bangun berbentuk bola tertutup dengan diameter 8,4 m.
Kunci Jawaban
\( 221,76 \text{ m}^2 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 8,4 \text{ m} \)
\( r = \frac{8,4}{2} \)
\( r = 4,2 \text{ m} \)
Langkah 2: Gunakan rumus luas permukaan bola
Rumus:
\( L = 4\pi r^2 \)
Karena 8,4 merupakan kelipatan 7, maka digunakan \( \pi = \frac{22}{7} \).
\( L = 4 \times \frac{22}{7} \times 4,2^2 \)
\( 4,2^2 = 17,64 \)
\( L = 4 \times \frac{22}{7} \times 17,64 \)
\( = \frac{88}{7} \times 17,64 \)
\( = 12,5714 \times 17,64 \)
\( \approx 221,76 \text{ m}^2 \)
Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah \( 221,76 \text{ m}^2 \).
Soal
Hitunglah luas permukaan bangun berikut. Bangun merupakan prisma segi lima beraturan tertutup dengan panjang sisi alas 4 dm dan tinggi prisma 6 dm.
Kunci Jawaban
\( 228 \text{ dm}^2 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Gunakan rumus luas permukaan prisma
Rumus:
\( L = 2 \times L_{alas} + K \times t \)
dengan:
\( L_{alas} \) = luas alas
\( K \) = keliling alas
\( t \) = tinggi prisma
Langkah 2: Hitung keliling alas
Prisma segi lima beraturan dengan sisi 4 dm.
\( K = 5 \times 4 \)
\( K = 20 \text{ dm} \)
Langkah 3: Hitung luas alas
Alas berbentuk segi lima beraturan. Segi lima dapat dibagi menjadi 5 segitiga sama sisi.
Luas satu segitiga:
\( = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \)
\( = 6 \)
Maka:
\( L_{alas} = 5 \times 6 \)
\( = 30 \text{ dm}^2 \)
Langkah 4: Hitung luas selimut
\( K \times t = 20 \times 6 = 120 \text{ dm}^2 \)
Langkah 5: Jumlahkan
\( L = 2 \times 30 + 120 \)
\( = 60 + 120 \)
\( = 180 \text{ dm}^2 \)
Jadi, luas permukaan bangun tersebut adalah \( 180 \text{ dm}^2 \).
Soal
Perhatikan bangun ruang berikut. Bangun memiliki tinggi 5 satuan. Alas bangun berbentuk persegi dengan panjang sisi \( \sqrt{2} \) satuan. Jarak terjauh dari titik pusat alas ke sisi alas adalah 1 satuan. Dengan menggunakan estimasi \( \pi = 3,14 \), tentukan luas alas dan volume bangun tersebut.
Kunci Jawaban
Luas alas \( = 2 \text{ satuan}^2 \)
Volume \( = 10 \text{ satuan}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Hitung luas alas
Alas berbentuk persegi dengan sisi \( \sqrt{2} \).
Rumus luas persegi:
\( L = s^2 \)
\( L = (\sqrt{2})^2 \)
\( L = 2 \)
Langkah 2: Hitung volume
Bangun merupakan prisma, sehingga:
\( V = A \times t \)
\( V = 2 \times 5 \)
\( V = 10 \)
Jadi, luas alas bangun adalah \( 2 \text{ satuan}^2 \) dan volumenya adalah \( 10 \text{ satuan}^3 \).
Soal
Perhatikan bangun ruang berikut. Bangun memiliki tinggi 5 satuan. Alas berbentuk segi delapan beraturan. Jarak dari titik pusat alas ke sisi alas adalah 1 satuan. Dengan menggunakan estimasi \( \pi = 3,14 \), tentukan luas alas dan volume bangun tersebut.
Kunci Jawaban
Luas alas \( \approx 3,14 \text{ satuan}^2 \)
Volume \( \approx 15,7 \text{ satuan}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Menentukan luas alas
Alas berbentuk segi delapan beraturan. Diketahui jarak dari pusat ke sisi (apotema) adalah 1 satuan.
Segi delapan beraturan dapat diperkirakan mendekati lingkaran karena memiliki banyak sisi. Maka luas alas dapat diestimasi dengan rumus luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
Dengan \( r = 1 \):
\( L = 3,14 \times 1^2 \)
\( L = 3,14 \)
Langkah 2: Menentukan volume
Bangun merupakan prisma, sehingga:
\( V = A \times t \)
\( V = 3,14 \times 5 \)
\( V = 15,7 \)
Jadi, luas alas bangun sekitar \( 3,14 \text{ satuan}^2 \) dan volumenya sekitar \( 15,7 \text{ satuan}^3 \).
Soal
Perhatikan bangun ruang berikut. Bangun memiliki tinggi 5 satuan. Alas berbentuk segi delapan beraturan. Jarak dari titik pusat alas ke sisi alas adalah 1 satuan. Dengan menggunakan estimasi \( \pi = 3,14 \), tentukan luas alas dan volume bangun tersebut.
Kunci Jawaban
Luas alas \( \approx 3,31 \text{ satuan}^2 \)
Volume \( \approx 16,55 \text{ satuan}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Gunakan rumus luas segi-n beraturan
Rumus:
\( L = \frac{1}{2} \times K \times a \)
dengan:
\( K \) = keliling
\( a \) = apotema
Diketahui apotema \( a = 1 \).
Langkah 2: Tentukan panjang sisi
Untuk segi delapan beraturan dengan apotema 1, sisi dapat dihitung menggunakan hubungan:
\( s = 2a \tan\left(\frac{180^\circ}{8}\right) \)
\( s = 2(1)\tan(22,5^\circ) \)
\( \tan(22,5^\circ) \approx 0,414 \)
\( s \approx 2(0,414) \)
\( s \approx 0,828 \)
Langkah 3: Hitung keliling
\( K = 8 \times 0,828 \)
\( K \approx 6,624 \)
Langkah 4: Hitung luas alas
\( L = \frac{1}{2} \times 6,624 \times 1 \)
\( L \approx 3,312 \)
Langkah 5: Hitung volume
Prisma:
\( V = A \times t \)
\( V = 3,312 \times 5 \)
\( V \approx 16,56 \)
Jadi, luas alas bangun sekitar \( 3,31 \text{ satuan}^2 \) dan volumenya sekitar \( 16,55 \text{ satuan}^3 \).
Soal
Perhatikan bangun ruang berikut. Bangun berbentuk tabung dengan tinggi 5 satuan. Jarak dari titik pusat alas ke sisi alas adalah 1 satuan. Dengan menggunakan estimasi \( \pi = 3,14 \), tentukan luas alas dan volume bangun tersebut.
Kunci Jawaban
Luas alas \( = 3,14 \text{ satuan}^2 \)
Volume \( = 15,7 \text{ satuan}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Jarak dari titik pusat ke sisi alas adalah jari-jari.
\( r = 1 \)
Langkah 2: Hitung luas alas
Rumus luas lingkaran:
\( L = \pi r^2 \)
\( L = 3,14 \times 1^2 \)
\( L = 3,14 \text{ satuan}^2 \)
Langkah 3: Hitung volume
Rumus volume tabung:
\( V = A \times t \)
\( V = 3,14 \times 5 \)
\( V = 15,7 \text{ satuan}^3 \)
Jadi, luas alas bangun adalah \( 3,14 \text{ satuan}^2 \) dan volumenya adalah \( 15,7 \text{ satuan}^3 \).
Soal
Sebuah potongan pipa besi memiliki jari-jari bagian dalam 35 cm dan jari-jari bagian luar 36 cm. Panjang pipa adalah 100 m. Tentukan volume besi dari pipa tersebut dalam bentuk \( \pi \).
Kunci Jawaban
\( 7100\pi \text{ cm}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Ubah satuan panjang
Panjang pipa \( = 100 \text{ m} \)
\( = 10.000 \text{ cm} \)
Langkah 2: Gunakan rumus volume tabung
Rumus volume tabung:
\( V = \pi r^2 t \)
Karena pipa berlubang, maka volume besi adalah selisih volume tabung luar dan tabung dalam.
\( V = \pi R^2 t - \pi r^2 t \)
\( = \pi (R^2 - r^2)t \)
Langkah 3: Substitusi nilai
\( R = 36 \text{ cm} \)
\( r = 35 \text{ cm} \)
\( t = 10.000 \text{ cm} \)
\( V = \pi (36^2 - 35^2) \times 10.000 \)
\( 36^2 = 1296 \)
\( 35^2 = 1225 \)
\( 1296 - 1225 = 71 \)
\( V = \pi \times 71 \times 10.000 \)
\( V = 710.000\pi \text{ cm}^3 \)
Jadi, volume besi pipa tersebut adalah \( 710.000\pi \text{ cm}^3 \).
Sifat 2.14 Volume Kerucut
Jika diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari alas \( r \) dan tinggi \( t \), maka volume kerucut tersebut dapat dicari dengan rumus:
\( \text{Volume Kerucut} = \frac{1}{3} \times \text{Luas Alas} \times t \)
\( = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times t \)
\( = \frac{1}{3}\pi r^2 t \)
Soal
Sebuah kerucut diletakkan ke dalam sebuah prisma persegi seperti pada gambar. Panjang sisi persegi adalah \( 12 \text{ cm} \) dan tinggi prisma sama dengan tinggi kerucut yaitu \( 16 \text{ cm} \). Tentukan volume prisma yang tidak terisi oleh kerucut.
Kunci Jawaban
\( 2304 - 192\pi \text{ cm}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Hitung volume prisma
Prisma beralas persegi dengan sisi \( 12 \text{ cm} \) dan tinggi \( 16 \text{ cm} \).
Luas alas persegi:
\( A = s^2 \)
\( A = 12^2 \)
\( A = 144 \text{ cm}^2 \)
Volume prisma:
\( V_p = A \times t \)
\( V_p = 144 \times 16 \)
\( V_p = 2304 \text{ cm}^3 \)
Langkah 2: Tentukan jari-jari alas kerucut
Alas kerucut berupa lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi, sehingga diameter lingkaran sama dengan sisi persegi.
Diameter \( d = 12 \text{ cm} \)
\( r = \frac{d}{2} \)
\( r = \frac{12}{2} \)
\( r = 6 \text{ cm} \)
Langkah 3: Hitung volume kerucut
Rumus volume kerucut:
\( V_k = \frac{1}{3}\pi r^2 t \)
\( V_k = \frac{1}{3}\pi \times 6^2 \times 16 \)
\( V_k = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 16 \)
\( V_k = \frac{1}{3}\pi \times 576 \)
\( V_k = 192\pi \text{ cm}^3 \)
Langkah 4: Volume prisma yang tidak terisi kerucut
Volume ruang kosong adalah selisih volume prisma dan volume kerucut.
\( V = V_p - V_k \)
\( V = 2304 - 192\pi \)
Jadi, volume prisma yang tidak terisi oleh kerucut adalah \( 2304 - 192\pi \text{ cm}^3 \).
Soal
Sebuah wadah es krim berbentuk kerucut diisi penuh es krim. Diameter wadah es krim adalah \( 8 \text{ cm} \) dan tingginya \( 14 \text{ cm} \). Tentukan volume es krim yang dapat diisikan pada wadah tersebut.
Kunci Jawaban
\( \frac{448}{3}\pi \text{ cm}^3 \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 8 \text{ cm} \)
\( r = \frac{8}{2} \)
\( r = 4 \text{ cm} \)
Langkah 2: Gunakan rumus volume kerucut
Rumus:
\( V = \frac{1}{3}\pi r^2 t \)
Langkah 3: Substitusi nilai
\( V = \frac{1}{3}\pi \times 4^2 \times 14 \)
\( 4^2 = 16 \)
\( V = \frac{1}{3}\pi \times 16 \times 14 \)
\( 16 \times 14 = 224 \)
\( V = \frac{224}{3}\pi \)
Jadi, volume es krim yang dapat diisikan adalah \( \frac{224}{3}\pi \text{ cm}^3 \).
Soal
Sebuah kolam memiliki panjang \( 80 \text{ m} \) dan lebar \( 30 \text{ m} \). Kedalaman kolam berbeda, yaitu bagian terdalam \( 2,5 \text{ m} \) dan bagian terdangkal \( 1,5 \text{ m} \). Perubahan kedalaman terjadi secara miring sepanjang \( 20 \text{ m} \). Tentukan berapa liter air yang dibutuhkan untuk mengisi penuh kolam tersebut.
Kunci Jawaban
\( 4.800.000 \text{ liter} \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan kedalaman rata-rata
Karena dasar kolam miring secara linear, maka volume dapat dihitung menggunakan kedalaman rata-rata.
\( t_{rata} = \frac{2,5 + 1,5}{2} \)
\( t_{rata} = \frac{4}{2} \)
\( t_{rata} = 2 \text{ m} \)
Langkah 2: Hitung volume kolam
Rumus volume balok:
\( V = p \times l \times t \)
\( V = 80 \times 30 \times 2 \)
\( V = 4800 \text{ m}^3 \)
Langkah 3: Ubah ke liter
\( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ liter} \)
\( 4800 \times 1000 = 4.800.000 \text{ liter} \)
Jadi, air yang dibutuhkan untuk mengisi penuh kolam tersebut adalah \( 4.800.000 \text{ liter} \).
Soal
Sebuah tempat minum domba berbentuk tabung yang dipotong menjadi dua bagian sama besar seperti pada gambar. Diameter tabung adalah \( 40 \text{ cm} \) dan panjangnya \( 5 \text{ m} \). Tentukan volume air maksimum yang dapat ditampung tempat minum tersebut.
Kunci Jawaban
\( 1000\pi \text{ liter} \)
Pembahasan Detail
Langkah 1: Tentukan jari-jari
Diameter \( = 40 \text{ cm} \)
\( r = \frac{40}{2} \)
\( r = 20 \text{ cm} \)
Langkah 2: Ubah satuan panjang
Panjang \( = 5 \text{ m} \)
\( = 500 \text{ cm} \)
Langkah 3: Hitung volume tabung penuh
Rumus volume tabung:
\( V = \pi r^2 t \)
\( V = \pi \times 20^2 \times 500 \)
\( 20^2 = 400 \)
\( V = \pi \times 400 \times 500 \)
\( V = 200000\pi \text{ cm}^3 \)
Langkah 4: Karena tabung dipotong menjadi dua
Volume setengah tabung:
\( V = \frac{1}{2} \times 200000\pi \)
\( V = 100000\pi \text{ cm}^3 \)
Langkah 5: Ubah ke liter
\( 1 \text{ liter} = 1000 \text{ cm}^3 \)
\( \frac{100000\pi}{1000} = 100\pi \text{ liter} \)
Jadi, volume air maksimum yang dapat ditampung adalah \( 100\pi \text{ liter} \).
Jika diketahui \( s \) adalah panjang sisi lengkung (bukan tinggi) seperti pada ilustrasi, tentukan luas permukaan kerucut terpancung dengan jari-jari alas atas \( r_1 \), jari-jari alas bawah \( r_2 \), dan sisi lengkung \( s \).
Klik untuk melihat Jawaban & Pembahasan Lengkap
Luas permukaan kerucut terpancung = (luas selimut) + (luas alas atas) + (luas alas bawah).
1) Luas alas atas dan alas bawah
Alas atas berupa lingkaran berjari-jari \( r_1 \) sehingga luasnya \( \pi r_1^2 \).
Alas bawah berupa lingkaran berjari-jari \( r_2 \) sehingga luasnya \( \pi r_2^2 \).
2) Luas selimut kerucut terpancung
Selimut kerucut terpancung jika “dibuka” (diiris lalu direntangkan) menjadi juring cincin (annular sector). Panjang busur bagian dalam sama dengan keliling lingkaran atas yaitu \( 2\pi r_1 \), dan panjang busur bagian luar sama dengan keliling lingkaran bawah yaitu \( 2\pi r_2 \).
Misalkan jari-jari juring cincin bagian dalam \( \rho_1 \) dan bagian luar \( \rho_2 \). Karena tebal cincin pada juring adalah sisi lengkung kerucut terpancung, maka: \( \rho_2 - \rho_1 = s \).
Sudut pusat juring misalkan \( \theta \) (dalam radian). Maka panjang busur: \( \theta \rho_1 = 2\pi r_1 \) dan \( \theta \rho_2 = 2\pi r_2 \).
Dari dua persamaan busur: \( \dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{r_2}{r_1} \). Dengan \( \rho_2 - \rho_1 = s \), diperoleh: \( \rho_1 = \dfrac{s\,r_1}{r_2 - r_1} \) dan \( \rho_2 = \dfrac{s\,r_2}{r_2 - r_1} \).
Luas juring cincin (selimut) adalah selisih dua luas juring: \( L_s = \dfrac{1}{2}\theta(\rho_2^2 - \rho_1^2) \).
Hitung \( \theta \) dari \( \theta \rho_1 = 2\pi r_1 \): \( \theta = \dfrac{2\pi r_1}{\rho_1} = \dfrac{2\pi r_1}{\frac{s\,r_1}{r_2-r_1}} = \dfrac{2\pi (r_2 - r_1)}{s} \).
Substitusi ke \( L_s \):
\( L_s = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2\pi (r_2 - r_1)}{s}\cdot \left(\rho_2^2 - \rho_1^2\right) \)
\( = \pi \dfrac{(r_2 - r_1)}{s}\cdot \left(\left(\dfrac{s\,r_2}{r_2-r_1}\right)^2 - \left(\dfrac{s\,r_1}{r_2-r_1}\right)^2\right) \)
\( = \pi \dfrac{(r_2 - r_1)}{s}\cdot \dfrac{s^2(r_2^2 - r_1^2)}{(r_2-r_1)^2} \)
\( = \pi s \cdot \dfrac{(r_2^2 - r_1^2)}{(r_2 - r_1)} \)
Karena \( r_2^2 - r_1^2 = (r_2-r_1)(r_2+r_1) \), maka: \( L_s = \pi s (r_1 + r_2) \).
3) Gabungkan semuanya
Luas permukaan total:
\( L = L_s + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \)
\( = \pi s (r_1 + r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \).
Jawaban akhir:
\( \boxed{\text{(tidak ditulis kotak)}\;\; L = \pi (r_1 + r_2)s + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 } \)
Jika diketahui \( s \) adalah panjang sisi lengkung (bukan tinggi) seperti pada ilustrasi, tentukan luas permukaan kerucut terpancung dengan jari-jari lingkaran atas \( r_1 \) dan jari-jari lingkaran bawah \( r_2 \).
Klik untuk melihat Jawaban & Pembahasan Lengkap
Luas permukaan kerucut terpancung terdiri dari 3 bagian:
(1) luas selimut kerucut terpancung,
(2) luas lingkaran atas,
(3) luas lingkaran bawah.
A. Luas dua alas
Lingkaran atas berjari-jari \( r_1 \) sehingga luasnya \( \pi r_1^2 \).
Lingkaran bawah berjari-jari \( r_2 \) sehingga luasnya \( \pi r_2^2 \).
B. Luas selimut (pakai ilustrasi “dibuka” menjadi juring cincin)
Selimut kerucut terpancung bila dipotong lalu dibentangkan akan menjadi juring cincin. Pada gambar, panjang busur bagian dalam adalah keliling lingkaran atas yaitu \( 2\pi r_1 \), dan panjang busur bagian luar adalah keliling lingkaran bawah yaitu \( 2\pi r_2 \).
Misalkan jari-jari juring bagian dalam \( x \) (sesuai label \( x \) pada gambar), sehingga jari-jari juring bagian luar adalah \( x+s \) karena tebal cincin sama dengan sisi lengkung \( s \). Jadi:
\( \text{jari-jari luar} = x+s \).
Misalkan sudut pusat juring adalah \( \theta \) (dalam radian). Maka rumus panjang busur:
\( \text{panjang busur} = \theta \times \text{jari-jari} \).
Karena busur dalam sama dengan \( 2\pi r_1 \), diperoleh:
\( \theta x = 2\pi r_1 \).
Karena busur luar sama dengan \( 2\pi r_2 \), diperoleh:
\( \theta (x+s) = 2\pi r_2 \).
Kurangkan kedua persamaan:
\( \theta(x+s) - \theta x = 2\pi r_2 - 2\pi r_1 \)
\( \theta s = 2\pi (r_2 - r_1) \)
sehingga:
\( \theta = \dfrac{2\pi (r_2 - r_1)}{s} \).
Luas juring cincin (selimut) = luas juring luar − luas juring dalam:
\( L_s = \dfrac{1}{2}\theta (x+s)^2 - \dfrac{1}{2}\theta x^2 \)
\( L_s = \dfrac{1}{2}\theta\left((x+s)^2 - x^2\right) \)
\( L_s = \dfrac{1}{2}\theta\left(x^2 + 2xs + s^2 - x^2\right) \)
\( L_s = \dfrac{1}{2}\theta(2xs + s^2) \)
\( L_s = \theta\left(xs + \dfrac{s^2}{2}\right) \).
Agar tidak bergantung pada \( x \), gunakan \( \theta x = 2\pi r_1 \) sehingga:
\( x = \dfrac{2\pi r_1}{\theta} \).
Substitusi ke \( L_s \):
\( L_s = \theta\left(\dfrac{2\pi r_1}{\theta}s + \dfrac{s^2}{2}\right) \)
\( L_s = 2\pi r_1 s + \dfrac{\theta s^2}{2} \).
Masukkan \( \theta = \dfrac{2\pi (r_2 - r_1)}{s} \):
\( L_s = 2\pi r_1 s + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2\pi (r_2 - r_1)}{s}\cdot s^2 \)
\( L_s = 2\pi r_1 s + \pi (r_2 - r_1)s \)
\( L_s = \pi s(2r_1 + r_2 - r_1) \)
\( L_s = \pi s(r_1 + r_2) \).
C. Luas permukaan total
\( L = L_s + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \)
\( L = \pi s(r_1 + r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \).
Jawaban:
\( L = \pi (r_1 + r_2)s + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \).